21. Медиана равнобедренного треугольника делит его периметр на части, которые равны 35 и 27. Известно, что основание больше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны $a, a$ (боковые стороны) и $b$ (основание), а медиана, проведенная к основанию, равна $m$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Медиана делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника со сторонами $a$, $b/2$ и $m$. Периметр всего треугольника равен $2a + b$. Медиана делит периметр на две части. Каждая часть состоит из боковой стороны $a$ и половины основания $b/2$, а также самой медианы $m$. Однако, согласно условию, медиана делит периметр, значит, каждая часть — это сумма боковой стороны и половины основания: $a + b/2$. Получаем систему уравнений: 1. $a + b/2 = 35$ 2. $a + b/2 = 27$ Но так как стороны треугольника фиксированы, одна часть должна включать медиану, а другая — нет? Нет, медиана делит периметр — это значит, что сумма сторон по одну сторону от медианы отличается от суммы по другую. Обозначим части периметра как $P_1 = a + m + b/2 = 35$ и $P_2 = a + m + b/2 = 27$. Это невозможно, так как части были бы равны. Значит, медиана проведена к боковой стороне. Пусть треугольник $ABC$, где $AB=BC=a$, а $AC=b$. Медиана $AM$ проведена к стороне $BC$. Тогда она делит периметр на части: 1. Сторона $AB + BM = a + a/2 = 35$ (или $27$) 2. Сторона $AC + CM = b + a/2 = 27$ (или $35$) Так как основание $b$ больше боковой стороны $a$ ($b > a$), то сумма $b + a/2$ должна быть больше, чем $a + a/2$. Следовательно: $b + a/2 = 35$ $a + a/2 = 27$ Решим второе уравнение: $1,5a = 27$ $a = 27 / 1,5 = 18$ Подставим $a = 18$ в первое уравнение: $b + 18/2 = 35$ $b + 9 = 35$ $b = 26$ Проверим условие: $b > a$ (26 > 18) — верно. Ответ: стороны треугольника равны 18, 18 и 26.