Решить неравенства: 1) √3x-2 < x 2) √3x+7 > 2x+3 3) √2x-2 < x 4) √2x^2-4x+1 <= x+1 5) √x+3 > √2x-5 6) √4-x > √x+5 7) √2x^2-4x+5 > √3x^2-x+1 8) √x^2-3x < √4x-10 9) √x^2-4x+1 >= √3x+1

Привет! Давай разберем иррациональные неравенства. Главное правило: не забывать про область допустимых значений (ОДЗ) подкоренного выражения и учитывать знаки обеих частей неравенства при возведении в квадрат. 1) $\sqrt{3x-2} < x$ ОДЗ: $3x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{2}{3}$ и $x > 0$. Общее ОДЗ: $x \ge \frac{2}{3}$. Возводим в квадрат: $3x-2 < x^2 \Rightarrow x^2-3x+2 > 0$. Корни уравнения $x^2-3x+2=0$ — это $1$ и $2$. Неравенство $x^2-3x+2 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 1) \cup (2;+\infty)$. Пересекая с ОДЗ $[\frac{2}{3};+\infty)$, получаем ответ: $x \in [\frac{2}{3}; 1) \cup (2;+\infty)$. 2) $\sqrt{3x+7} > 2x+3$ ОДЗ: $3x+7 \ge 0 \Rightarrow x \ge -\frac{7}{3}$. Случай 1: $2x+3 < 0 \Rightarrow x < -1,5$. Неравенство верно для любого $x$ из ОДЗ. Т.е. $x \in [-\frac{7}{3}; -1,5)$. Случай 2: $2x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1,5$. Возводим в квадрат: $3x+7 > 4x^2+12x+9 \Rightarrow 4x^2+9x+2 < 0$. Корни $4x^2+9x+2=0$ через дискриминант: $D=81-32=49$, $x_1 = \frac{-9-7}{8} = -2$, $x_2 = \frac{-9+7}{8} = -0,25$. Интервал $(-2; -0,25)$. С учетом условия $x \ge -1,5$, получаем $x \in [-1,5; -0,25)$. Объединяем: $x \in [-\frac{7}{3}; -0,25)$. 3) $\sqrt{2x-2} < x$ ОДЗ: $2x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. $x$ должно быть больше нуля (так как корень $\ge 0$). Возводим: $2x-2 < x^2 \Rightarrow x^2-2x+2 > 0$. Дискриминант $4-8 < 0$, ветви вверх, неравенство верно при любом $x$. Пересечение с ОДЗ: $x \ge 1$. Ответ: $x \in [1;+\infty)$. 4) $\sqrt{2x^2-4x+1} \le x+1$ ОДЗ: $2x^2-4x+1 \ge 0$ (корни $1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$) и $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. Возводим: $2x^2-4x+1 \le x^2+2x+1 \Rightarrow x^2-6x \le 0 \Rightarrow x(x-6) \le 0$. Решение: $x \in [0; 6]$. Все значения входят в ОДЗ ($x \ge -1$). Ответ: $x \in [0; 6]$. 5) $\sqrt{x+3} > \sqrt{2x-5}$ ОДЗ: $x+3 \ge 0$ и $2x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2,5$. Возводим: $x+3 > 2x-5 \Rightarrow x < 8$. Пересечение с ОДЗ: $x \in [2,5; 8)$. 6) $\sqrt{4-x} > \sqrt{x+5}$ ОДЗ: $4-x \ge 0$ ($x \le 4$) и $x+5 \ge 0$ ($x \ge -5$). ОДЗ: $x \in [-5; 4]$. Возводим: $4-x > x+5 \Rightarrow -2x > 1 \Rightarrow x < -0,5$. Пересечение с ОДЗ: $x \in [-5; -0,5)$. 7) $\sqrt{2x^2-4x+5} > \sqrt{3x^2-x+1}$ ОДЗ: оба подкоренных выражения всегда $>0$ (дискриминанты отрицательны). Возводим: $2x^2-4x+5 > 3x^2-x+1 \Rightarrow x^2+3x-4 < 0$. Корни $x^2+3x-4=0$ — это $-4$ и $1$. Неравенство $<0$ между ними: $x \in (-4; 1)$. 8) $\sqrt{x^2-3x} < \sqrt{4x-10}$ ОДЗ: $x^2-3x \ge 0$ ($x \in (-\infty; 0] \cup [3;+\infty)$) и $4x-10 \ge 0$ ($x \ge 2,5$). Пересечение ОДЗ: $x \ge 3$. Возводим: $x^2-3x < 4x-10 \Rightarrow x^2-7x+10 < 0$. Корни: $x^2-7x+10=0 \Rightarrow x=2, x=5$. Интервал $(2; 5)$. Пересекаем с ОДЗ $x \ge 3$: $x \in [3; 5)$. 9) $\sqrt{x^2-4x+1} \ge \sqrt{3x+1}$ ОДЗ: $x^2-4x+1 \ge 0$ и $3x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/3$. Возводим: $x^2-4x+1 \ge 3x+1 \Rightarrow x^2-7x \ge 0 \Rightarrow x(x-7) \ge 0$. Решение: $x \in (-\infty; 0] \cup [7;+\infty)$. Пересекаем с ОДЗ ($x \ge -1/3$ и $x^2-4x+1 \ge 0$): $x \in [-1/3; 2-\sqrt{3}] \cup [7;+\infty)$.