3. Решите уравнения: 1) log4 x = 2; 2) log5 x = -2; 3) log2(1-3x) = 3; 4) log4(2-x) = log2 3; 5) log(1/2)(2x-3) = -2; 6) log(2/3)(x^2-3x+1) = 0; 7) log7(log3(log2 x)) = 0; 8) log2(x-7) = log2(11-x); 9) log3(x-5) = log3(2-x); 10) log5(x^2-4x) = log5(3-2x); 11) log2 x + log4 x = 3; 12) log2 x / log2 3 = 3.

Привет! Давай решим эти логарифмические уравнения, используя основное определение логарифма: $\log_a b = c \iff a^c = b$. 1) $\log_4 x = 2 \implies x = 4^2 = 16$. 2) $\log_5 x = -2 \implies x = 5^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04$. 3) $\log_2 (1-3x) = 3 \implies 1-3x = 2^3 = 8 \implies -3x = 7 \implies x = -\frac{7}{3}$. 4) $\log_4 (2-x) = \log_2 3$. Заменим основание: $\log_4 (2-x) = \frac{\log_2 (2-x)}{\log_2 4} = \frac{\log_2 (2-x)}{2}$. $\frac{\log_2 (2-x)}{2} = \log_2 3 \implies \log_2 (2-x) = 2\log_2 3 = \log_2 3^2 = \log_2 9$. $2-x = 9 \implies x = -7$. (Проверка: $2 - (-7) = 9 > 0$, подходит). 5) $\log_{1/2} (2x-3) = -2 \implies 2x-3 = (1/2)^{-2} = 2^2 = 4 \implies 2x = 7 \implies x = 3.5$. 6) $\log_{2/3} (x^2-3x+1) = 0 \implies x^2-3x+1 = (2/3)^0 = 1 \implies x^2-3x = 0 \implies x(x-3)=0$. Ответ: $x_1=0, x_2=3$. 7) $\log_7(\log_3(\log_2 x)) = 0 \implies \log_3(\log_2 x) = 7^0 = 1 \implies \log_2 x = 3^1 = 3 \implies x = 2^3 = 8$. 8) $\log_2 (x-7) = \log_2 (11-x) \implies x-7 = 11-x \implies 2x = 18 \implies x = 9$. 9) $\log_3 (x-5) = \log_3 (2-x) \implies x-5 = 2-x \implies 2x = 7 \implies x = 3.5$. Проверка области определения: $x-5 = 3.5-5 = -1.5 < 0$. Решений нет. 10) $\log_5 (x^2-4x) = \log_5 (3-2x) \implies x^2-4x = 3-2x \implies x^2-2x-3 = 0$. Корни по теореме Виета: $x_1 = 3, x_2 = -1$. Проверка области определения: $x=3: 3-2(3) = -3 < 0$. (Не подходит). $x=-1: (-1)^2-4(-1) = 5 > 0$ и $3-2(-1) = 5 > 0$. (Подходит). Ответ: $x = -1$. 11) $\log_2 x + \log_4 x = 3$. Заменим основание: $\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = 0.5 \log_2 x$. $\log_2 x + 0.5 \log_2 x = 3 \implies 1.5 \log_2 x = 3 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 4$. 12) $\frac{\log_2 x}{\log_2 3} = 3 \implies \log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$.