7) 2^{x^2} = 8^x / 16

Привет! Давай разберем эти показательные уравнения. Будем приводить обе части к одному основанию. **7) $2^{x^2} = \frac{8^x}{16}$** $2^{x^2} = \frac{(2^3)^x}{2^4} \Rightarrow 2^{x^2} = 2^{3x-4}$ $x^2 = 3x - 4 \Rightarrow x^2 - 3x + 4 = 0$ $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 < 0$. Корней нет. **8) $3^{x^2+1} = 27\sqrt{3} \cdot 3^x$** $3^{x^2+1} = 3^3 \cdot 3^{0.5} \cdot 3^x \Rightarrow 3^{x^2+1} = 3^{x + 3.5}$ $x^2 + 1 = x + 3.5 \Rightarrow x^2 - x - 2.5 = 0$ $x^2 - x - 2.5 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 2x - 5 = 0$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{11}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{2}$. **9) $10^x = 2$** $x = \lg 2$. **10) $3^x = 2^{2-x}$** $3^x = \frac{4}{2^x} \Rightarrow 3^x \cdot 2^x = 4 \Rightarrow 6^x = 4$ $x = \log_6 4 = \log_6 2^2 = 2\log_6 2$. **11) $2^x \cdot 5^{x+1} = 100$** $2^x \cdot 5^x \cdot 5 = 100 \Rightarrow 10^x = 20$ $x = \lg 20 = \lg(10 \cdot 2) = 1 + \lg 2$. **12) $3^x \cdot 5^{2x-3} = 45$** $3^x \cdot 25^x \cdot 5^{-3} = 45 \Rightarrow 75^x \cdot \frac{1}{125} = 45$ $75^x = 5625 \Rightarrow 75^x = 75^2 \Rightarrow x = 2$. **13) $3^{x+2} - 3^{x+1} + 3^x = 21$** $3^x(3^2 - 3^1 + 1) = 21 \Rightarrow 3^x(9 - 3 + 1) = 21$ $3^x \cdot 7 = 21 \Rightarrow 3^x = 3 \Rightarrow x = 1$. **14) $4^x + 2^{2x+1} - 16^{\frac{x-1}{2}} = 47$** $4^x + 2 \cdot 4^x - (4^2)^{\frac{x-1}{2}} = 47 \Rightarrow 3 \cdot 4^x - 4^{x-1} = 47$ $3 \cdot 4^x - \frac{4^x}{4} = 47 \Rightarrow 4^x(3 - 0.25) = 47$ $4^x \cdot 2.75 = 47 \Rightarrow 4^x \cdot \frac{11}{4} = 47 \Rightarrow 4^x = \frac{188}{11} \Rightarrow x = \log_4 \frac{188}{11}$. **15) $4^x - 3^{\frac{x-1}{2}} = 3^{\frac{x+1}{2}} - 2^{2x-1}$** $2^{2x} + 2^{2x-1} = 3^{\frac{x+1}{2}} + 3^{\frac{x-1}{2}}$ $2^{2x}(1 + 0.5) = 3^{\frac{x-1}{2}}(3^1 + 1) \Rightarrow 2^{2x} \cdot 1.5 = 3^{\frac{x-1}{2}} \cdot 4$ $2^{2x} \cdot \frac{3}{2} = 3^{\frac{x-1}{2}} \cdot 2^2 \Rightarrow \frac{2^{2x}}{2^2} = \frac{3^{\frac{x-1}{2}}}{1.5}$ $2^{2x-2} = \frac{3^{\frac{x-1}{2}}}{\frac{3}{2}} \Rightarrow 2^{2x-2} = 2 \cdot 3^{\frac{x-1}{2} - 1} = 2 \cdot 3^{\frac{x-3}{2}}$. Это уравнение обычно решается логарифмированием или подбором. Если $x=3$, то $2^4 = 2 \cdot 3^0 \Rightarrow 16 = 2$ (неверно). Для таких уравнений часто удобно использовать логарифм: $x = \frac{\ln(3/2) + 2\ln 2}{2\ln 2 - 0.5\ln 3}$. **16) $5 \cdot 2^x = 3 \cdot 2^{x-1} + 56$** $5 \cdot 2^x - 1.5 \cdot 2^x = 56 \Rightarrow 3.5 \cdot 2^x = 56$ $2^x = \frac{56}{3.5} = 16 \Rightarrow 2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4$. **17) $2^{x+1} + 4 = 80$** $2^{x+1} = 76 \Rightarrow x+1 = \log_2 76$ $x = \log_2 76 - 1 = \log_2 76 - \log_2 2 = \log_2 38$. **18) $3^x + 3^{1-x} = 28/3$** $3^x + \frac{3}{3^x} = \frac{28}{3}$. Пусть $t = 3^x$ ($t > 0$) $t + \frac{3}{t} = \frac{28}{3} \Rightarrow 3t^2 - 28t + 9 = 0$ $D = 784 - 108 = 676 = 26^2$ $t_1 = \frac{28+26}{6} = 9 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow x = 2$ $t_2 = \frac{28-26}{6} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1$. **19) $7^{2x} - 6 \cdot 7^x - 7 = 0$** Пусть $t = 7^x$ ($t > 0$) $t^2 - 6t - 7 = 0 \Rightarrow (t-7)(t+1) = 0$ $t = 7 \Rightarrow 7^x = 7^1 \Rightarrow x = 1$. **20) $\frac{2^x + 2^{-x}}{2^x - 2^{-x}} = \frac{17}{15}$** $15(2^x + 2^{-x}) = 17(2^x - 2^{-x})$ $15 \cdot 2^x + 15 \cdot 2^{-x} = 17 \cdot 2^x - 17 \cdot 2^{-x}$ $32 \cdot 2^{-x} = 2 \cdot 2^x \Rightarrow 16 = 2^{2x} \Rightarrow 2^4 = 2^{2x}$ $2x = 4 \Rightarrow x = 2$.