7) 2^x^2 = 8^x/16; 8) 3^x^2+1 = 27*sqrt(3) * 3^x; 12) 3^x * 5^2x-3 = 45; 13) 3^x+2 - 3^x+1 + 3^x = 21; 17) 2^x+1 + 4 = 80; 18) 3^x + 3^1-x = 28/3

Решим предложенные показательные уравнения. 7) $2^{x^2} = \frac{8^x}{16}$ Приведем к основанию 2: $2^{x^2} = \frac{(2^3)^x}{2^4}$ $2^{x^2} = \frac{2^{3x}}{2^4} = 2^{3x-4}$ Так как основания равны, приравняем показатели: $x^2 = 3x - 4$ $x^2 - 3x + 4 = 0$ Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 < 0$. **Ответ: корней нет.** 8) $3^{x^2+1} = 27\sqrt{3} \cdot 3^x$ Приведем к основанию 3: $3^{x^2+1} = 3^3 \cdot 3^{0,5} \cdot 3^x$ $3^{x^2+1} = 3^{3+0,5+x}$ $x^2 + 1 = 3,5 + x$ $x^2 - x - 2,5 = 0$ Умножим на 2 для удобства: $2x^2 - 2x - 5 = 0$ $D = 4 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 4 + 40 = 44$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{11}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{2}$ **Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{2}$.** 12) $3^x \cdot 5^{2x-3} = 45$ $3^x \cdot \frac{5^{2x}}{5^3} = 45$ $3^x \cdot 25^x = 45 \cdot 125$ $(3 \cdot 25)^x = 5625$ $75^x = 5625$ Так как $75^2 = 5625$, то $x = 2$. **Ответ: 2.** 13) $3^{x+2} - 3^{x+1} + 3^x = 21$ Вынесем $3^x$ за скобки: $3^x(3^2 - 3^1 + 1) = 21$ $3^x(9 - 3 + 1) = 21$ $3^x \cdot 7 = 21$ $3^x = 3$ $x = 1$ **Ответ: 1.** 17) $2^{x+1} + 4 = 80$ $2^{x+1} = 76$ $2^x \cdot 2 = 76$ $2^x = 38$ $x = \log_2 38 = \log_2(2 \cdot 19) = 1 + \log_2 19$. **Ответ: $1 + \log_2 19$.** 18) $3^x + 3^{1-x} = \frac{28}{3}$ $3^x + \frac{3}{3^x} = \frac{28}{3}$ Пусть $3^x = t$ ($t > 0$): $t + \frac{3}{t} = \frac{28}{3}$ Умножим на $3t$: $3t^2 + 9 = 28t$ $3t^2 - 28t + 9 = 0$ $D = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676 = 26^2$ $t_1 = \frac{28 + 26}{6} = 9$ $t_2 = \frac{28 - 26}{6} = \frac{1}{3}$ Возвращаемся к $x$: $3^x = 9 \Rightarrow x = 2$ $3^x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = -1$ **Ответ: -1; 2.**