Даны векторы a = (2, -1, 3), b = (4, 0, -2). 1) Найти a·b 2) Найти длины векторов 3) Найти угол между векторами

### Задание 1 Даны векторы $\vec{a} = (2; -1; 3)$ и $\vec{b} = (4; 0; -2)$. 1. Скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 + 3 \cdot (-2) = 8 + 0 - 6 = 2$. 2. Длины векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$. $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 0 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. 3. Угол между векторами: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{2}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{280}} = \frac{2}{2\sqrt{70}} = \frac{1}{\sqrt{70}}$. $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{70}}\right)$. ### Задание 2 Даны векторы $\vec{a} = (1; 2; 2)$ и $\vec{b} = (2; 1; -2)$. 1. Скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = 2 + 2 - 4 = 0$. 2. Тип угла: Так как скалярное произведение равно нулю ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$), векторы перпендикулярны. Угол между ними прямой ($90^\circ$). ### Задание 3 (инженерная задача) Даны сила $\vec{F} = (10; 5; 0)$ и перемещение $\vec{s} = (2; 1; 0)$. 1. Работа $A$ вычисляется как скалярное произведение векторов силы и перемещения: $A = \vec{F} \cdot \vec{s} = 10 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 20 + 5 + 0 = 25$. 2. Интерпретация: Работа положительна ($A > 0$), значит, сила способствует движению (составляющая силы направлена вдоль перемещения). ### Задание 4 Даны векторы $\vec{a} = (1; 2; 3)$ и $\vec{b} = (2; -1; 1)$. 1. Векторное произведение $\vec{a} \times \vec{b}$: $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2\cdot1 - 3\cdot(-1)) - \vec{j}(1\cdot1 - 3\cdot2) + \vec{k}(1\cdot(-1) - 2\cdot2) = 5\vec{i} + 5\vec{j} - 5\vec{k}$. Получаем вектор $(5; 5; -5)$. 2. Проверка перпендикулярности: По определению векторного произведения, результирующий вектор $\vec{c}$ перпендикулярен обоим исходным векторам. $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 5\cdot1 + 5\cdot2 + (-5)\cdot3 = 5 + 10 - 15 = 0$ (верно). $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 5\cdot2 + 5\cdot(-1) + (-5)\cdot1 = 10 - 5 - 5 = 0$ (верно).