Решите неравенство 1 + 2 log2 0,3 > log2 (1,5x - 3).

### 1. Решение неравенства $1 + 2 \log_2 0,3 > \log_2 (1,5x - 3)$ $\log_2 2 + \log_2 0,3^2 > \log_2 (1,5x - 3)$ $\log_2 (2 \cdot 0,09) > \log_2 (1,5x - 3)$ $\log_2 0,18 > \log_2 (1,5x - 3)$ Поскольку основание логарифма 2 > 1, функция возрастает. Учитывая ОДЗ: $1,5x - 3 > 0 \Rightarrow x > 2$. $0,18 > 1,5x - 3$ $3,18 > 1,5x$ $x < 2,12$ С учетом ОДЗ: $2 < x < 2,12$. **Ответ: (2; 2,12).** ### 2. Решение системы уравнений $\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} \\ \sin x + \sin y = -\sqrt{2} \end{cases}$ Так как $y = \frac{\pi}{2} - x$, то $\sin y = \cos x$. $\sin x + \cos x = -\sqrt{2}$ Умножим на $\frac{1}{\sqrt{2}}$: $\sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -1$ $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$ $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ Тогда $y = \frac{\pi}{2} - (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k) = \frac{5\pi}{4} - 2\pi k$. Три решения (например, при $k=0, 1, -1$): $(-\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$, $(\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4})$, $(\frac{13\pi}{4}; -\frac{11\pi}{4})$. ### 3. Площадь фигуры $y = -x^2 - 2x + 8$ и $y = 5$. Найдем точки пересечения: $-x^2 - 2x + 8 = 5 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = -3, x_2 = 1$. $S = \int_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 8 - 5) dx = \int_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 3) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right]_{-3}^{1}$ $S = (-\frac{1}{3} - 1 + 3) - (-\frac{-27}{3} - 9 + 3(-3)) = (1\frac{2}{3}) - (9 - 9 - 9) = 1\frac{2}{3} + 9 = 10\frac{2}{3}$. ### 4. Решение уравнения $\sqrt{(x-2)(2x+5)} + 2 = x$ $\sqrt{2x^2 + 5x - 4x - 10} = x - 2$ $2x^2 + x - 10 = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ $x^2 + 5x - 14 = 0$ $D = 25 - 4(-14) = 81$. $x_1 = \frac{-5+9}{2} = 2$ (проверка: $\sqrt{0}+2 = 2$, верно). $x_2 = \frac{-5-9}{2} = -7$ (проверка: $x-2 = -9$, а корень всегда $\ge 0$, посторонний корень). **Ответ: 2.** ### 5. Точка касательной $y = e^{3x} - 1$. Касательная параллельна $y = 3x - 5 \Rightarrow k = 3$. Производная $y' = 3e^{3x} = 3 \Rightarrow e^{3x} = 1 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0$. $y(0) = e^0 - 1 = 0$. **Ответ: (0; 0).** ### 6. Наибольший объем цилиндра Диагональ осевого сечения $d = 5\sqrt{3}$. Высота $h$, диаметр основания $2r$. $4r^2 + h^2 = (5\sqrt{3})^2 = 75$. $V = \pi r^2 h = \frac{\pi}{4} (4r^2) h = \frac{\pi}{4} (75 - h^2) h = \frac{\pi}{4} (75h - h^3)$. $V' = \frac{\pi}{4} (75 - 3h^2) = 0 \Rightarrow h^2 = 25 \Rightarrow h = 5$. $r^2 = \frac{75 - 25}{4} = 12,5$. $V = \pi \cdot 12,5 \cdot 5 = 62,5\pi$. **Ответ: 62,5\pi.**