Билет №15. 1. Дайте определение секущей. Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

### 1. Секущая и углы **Определение:** Секущая — это прямая, которая пересекает две другие прямые в двух различных точках. При пересечении двух прямых секущей образуются следующие пары углов: - Накрест лежащие (внутренние и внешние). - Односторонние (внутренние и внешние). - Соответственные. ### 2. Свойство катета **Утверждение:** Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. **Доказательство:** Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный, $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$. Приложим к нему равный треугольник $ABC_1$ так, чтобы сторона $AC$ стала общей. Получим равносторонний треугольник $ABA_1$ с углами по $60^{\circ}$. В нем сторона $BC$ является высотой, медианой и биссектрисой. Значит, $BC = \frac{1}{2} AB$. **Обратное утверждение:** Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^{\circ}$. ### 3. Нахождение угла Так как луч $BD$ проходит внутри угла $ABC$, то $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$. Подставим известные значения: $63^{\circ} = 51^{\circ} + \angle DBC$ $\angle DBC = 63^{\circ} - 51^{\circ} = 12^{\circ}$. **Ответ:** $12^{\circ}$. ### 4. Доказательство равенства отрезков Рассмотрим треугольники $\triangle ABN$ и $\triangle CBM$: 1. $AB = BC$ (по условию, так как треугольник равнобедренный). 2. $AM = CN$ (по условию). 3. Найдем $AN$ и $CM$ через стороны: Так как $M$ на $AB$, а $N$ на $BC$, то $AN = AB - BN$ (неверно), используем равенство треугольников $\triangle ABN$ и $\triangle CBM$: - $AB = BC$ (стороны). - $\angle B$ — общий. - $BN = AB - AN$ и $BM = BC - CM$. Так как $AB = BC$ и $AN = CM$, то $BN = BM$. Следовательно, $\triangle ABN = \triangle CBM$ по двум сторонам и углу между ними ($AB=BC, BN=BM, \angle B$ общий). Из равенства треугольников следует, что $AN = CM$. Что и требовалось доказать.