Задание: решить уравнение.

Привет! Давай решим предложенные показательные уравнения. Будем приводить обе части уравнения к одному основанию. 1. $4^{4x-17} = 64$ $4^{4x-17} = 4^3$ $4x - 17 = 3 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5$ 2. $5^{2x-8} = 25$ $5^{2x-8} = 5^2$ $2x - 8 = 2 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$ 3. $0,25^{3x-10} = 4$ $(1/4)^{3x-10} = 4^1 \Rightarrow (4^{-1})^{3x-10} = 4^1$ $-3x + 10 = 1 \Rightarrow -3x = -9 \Rightarrow x = 3$ 4. $2^{5x-4} = 16^{x+3}$ $2^{5x-4} = (2^4)^{x+3} \Rightarrow 2^{5x-4} = 2^{4x+12}$ $5x - 4 = 4x + 12 \Rightarrow x = 16$ 5. $3^{5x+2} = 81^{x-1}$ $3^{5x+2} = (3^4)^{x-1} \Rightarrow 3^{5x+2} = 3^{4x-4}$ $5x + 2 = 4x - 4 \Rightarrow x = -6$ 6. $0,04(0,2)^{x-4} = 5^x$ $(0,2)^2 \cdot (0,2)^{x-4} = 5^x$ $(0,2)^{x-2} = 5^x \Rightarrow (5^{-1})^{x-2} = 5^x$ $-x + 2 = x \Rightarrow 2 = 2x \Rightarrow x = 1$ 7. $(\frac{5}{8})^{3x-7} = (\frac{8}{5})^{7x-3}$ $(\frac{5}{8})^{3x-7} = (\frac{5}{8})^{-(7x-3)}$ $3x - 7 = -7x + 3 \Rightarrow 10x = 10 \Rightarrow x = 1$ 8. $3^x = 27 \cdot \sqrt[4]{9}$ $3^x = 3^3 \cdot (3^2)^{1/4} = 3^3 \cdot 3^{1/2} = 3^{3,5}$ $x = 3,5$ 9. $4^{2x} - 3 \cdot 4^x - 4 = 0$ Пусть $4^x = t, t > 0$. Тогда $t^2 - 3t - 4 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 4, t_2 = -1$ (не подходит). $4^x = 4^1 \Rightarrow x = 1$ 10. $2^{2x} - 14 \cdot 2^x - 32 = 0$ Пусть $2^x = t, t > 0$. Тогда $t^2 - 14t - 32 = 0$. Дискриминант $D = 196 + 128 = 324 = 18^2$. $t_1 = (14 + 18)/2 = 16, t_2 = -2$ (не подходит). $2^x = 16 \Rightarrow x = 4$ 11. $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 = 0$ Пусть $3^x = t, t > 0$. $t^2 - 2t - 3 = 0$. $t_1 = 3, t_2 = -1$ (не подходит). $3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1$ 12. $(\frac{1}{16})^x - 2(\frac{1}{4})^x + 1 = 0$ $((\frac{1}{4})^x)^2 - 2(\frac{1}{4})^x + 1 = 0$. Пусть $t = (\frac{1}{4})^x$. $(t-1)^2 = 0 \Rightarrow t = 1$ $(\frac{1}{4})^x = 1 \Rightarrow x = 0$ 13. $5^{2x-1} + 5^{x+1} = 250$ $?rac{1}{5} \cdot (5^x)^2 + 5 \cdot 5^x - 250 = 0$. Умножим на 5: $(5^x)^2 + 25 \cdot 5^x - 1250 = 0$. Пусть $5^x = t, t > 0$. $t^2 + 25t - 1250 = 0$. $D = 625 - 4 \cdot (-1250) = 5625 = 75^2$. $t_1 = (-25 + 75)/2 = 25, t_2 < 0$. $5^x = 25 \Rightarrow x = 2$ 14. $3 \cdot 2^{x+3} - 2^{x+4} = 4$ $3 \cdot 8 \cdot 2^x - 16 \cdot 2^x = 4$ $24 \cdot 2^x - 16 \cdot 2^x = 4$ $8 \cdot 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 0,5 \Rightarrow x = -1$ 15. $3^{x+1} + 2 \cdot 3^{x+2} = 21$ $3^x \cdot 3 + 2 \cdot 3^x \cdot 9 = 21$ $3 \cdot 3^x + 18 \cdot 3^x = 21$ $21 \cdot 3^x = 21 \Rightarrow 3^x = 1 \Rightarrow x = 0$ 16. $5^{2x} + 5^{-2x} = 2$ Пусть $5^{2x} = t, t > 0$. $t + 1/t = 2$. $t^2 - 2t + 1 = 0 \Rightarrow (t-1)^2 = 0 \Rightarrow t = 1$. $5^{2x} = 1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$ 17. $6^{2x} + 6^{-2x} = 2$ Аналогично номеру 16: $6^{2x} = 1 \Rightarrow x = 0$ 18. $2 \cdot 4^x - 3 \cdot 10^x = 5 \cdot 25^x$ Разделим на $25^x$: $2 \cdot (4/25)^x - 3 \cdot (10/25)^x - 5 = 0$. $2 \cdot (2/5)^{2x} - 3 \cdot (2/5)^x - 5 = 0$. Пусть $t = (2/5)^x, t > 0$. $2t^2 - 3t - 5 = 0$. $t_1 = (3 + 7)/4 = 2,5$ (не подходит, т.к. $2/5^x > 0$, но здесь при $x=-1$, $(2/5)^{-1} = 2,5$). При $t=2,5=(2/5)^{-1} \Rightarrow x = -1$. $t_2 < 0$. Ответ: $x = -1$ 19. $3^{x^2-3x} = 27^{x^2-3x}$ $3^{x^2-3x} = (3^3)^{x^2-3x} = 3^{3x^2-9x}$. $x^2 - 3x = 3x^2 - 9x$ $2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x-3) = 0$. $x_1 = 0, x_2 = 3$ 20. $17^{x^2-9} = 29^{x^2-9}$ $(17/29)^{x^2-9} = 1$. $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$