27. cosx.sin3x - cos5x.sinx = 1/2 sin4x

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами синуса разности углов: 1. Напомним формулу: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$. 2. Преобразуем каждое слагаемое в левой части: $\cos x \sin 3x - \cos 5x \sin x = \sin 3x \cos x - \cos 5x \sin x$ Заметим, что это не совсем стандартный вид, поэтому воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$ Применим ее к обоим слагаемым: $\cos x \sin 3x = \frac{1}{2}(\sin(3x+x) + \sin(3x-x)) = \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x)$ $\cos 5x \sin x = \frac{1}{2}(\sin(5x+x) + \sin(5x-x)) = \frac{1}{2}(\sin 6x + \sin 4x)$ 3. Подставим в исходное уравнение: $\frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x) - \frac{1}{2}(\sin 6x + \sin 4x) = \frac{1}{2} \sin 4x$ 4. Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей: $(\sin 4x + \sin 2x) - (\sin 6x + \sin 4x) = \sin 4x$ 5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $\sin 4x + \sin 2x - \sin 6x - \sin 4x = \sin 4x$ $\sin 2x - \sin 6x = \sin 4x$ 6. Воспользуемся формулой разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$ Здесь $\alpha = 2x, \beta = 6x$: $2 \sin \frac{2x - 6x}{2} \cos \frac{2x + 6x}{2} = \sin 4x$ $2 \sin(-2x) \cos(4x) = \sin 4x$ $-2 \sin 2x \cos 4x = \sin 4x$ 7. Перенесем все в одну сторону и разложим на множители: $\sin 4x + 2 \sin 2x \cos 4x = 0$ Раскроем $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$: $2 \sin 2x \cos 2x + 2 \sin 2x \cos 4x = 0$ $2 \sin 2x (\cos 2x + \cos 4x) = 0$ 8. У нас два случая: а) $\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. б) $\cos 2x + \cos 4x = 0$. Воспользуемся формулой суммы косинусов: $2 \cos \frac{2x + 4x}{2} \cos \frac{4x - 2x}{2} = 0$ $2 \cos 3x \cos x = 0$ Отсюда: $\cos 3x = 0 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$ $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$ Заметим, что серия решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi m$ входит в серию $x = \frac{\pi k}{2}$ (при нечетных $k$). **Ответ:** $x = \frac{\pi k}{2}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$