3. Пусть A и B – множества чисел из отрезка [1,2]. Докажите, что sup {a/b | a∈A, b∈B} = sup A / inf B.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами точных верхних и нижних граней. Пусть $S = \{ \frac{a}{b} \mid a \in A, b \in B \}$. Нам нужно доказать, что $\sup S = \frac{\sup A}{\inf B}$. 1. **Оценим сверху:** Для любого $a \in A$ верно $a \le \sup A$, а для любого $b \in B$ верно $b \ge \inf B$ (так как $b > 0$, так как отрезок $[1, 2]$). Тогда $\frac{a}{b} \le \frac{\sup A}{b} \le \frac{\sup A}{\inf B}$. Значит, $\frac{\sup A}{\inf B}$ является верхней гранью множества $S$. 2. **Покажем, что это точная верхняя грань:** Пусть $\epsilon > 0$ — произвольное малое число. По определению супремума, найдется $a \in A$ такой, что $a > \sup A - \epsilon_1$. По определению инфимума, найдется $b \in B$ такой, что $b < \inf B + \epsilon_2$. Тогда частное $\frac{a}{b}$ будет сколь угодно близко приближаться к $\frac{\sup A}{\inf B}$ при выборе $a$ близких к $\sup A$ и $b$ близких к $\inf B$. Таким образом, $\sup \{ \frac{a}{b} \mid a \in A, b \in B \} = \frac{\sup A}{\inf B}$. Что и требовалось доказать.