Найти длину отрезка TN, если QN=10, MN=20, MQ=24 и окружность вписана в треугольник MQN.

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: они равны между собой. Пусть: $MR = MT = x$ $NR = NS = y$ (так как $R$ и $S$ — точки касания на сторонах, но здесь правильнее обозначить иначе, исходя из сторон треугольника $MQN$). Давайте переобозначим отрезки касательных: - Отрезки из вершины $M$: $MR = MT = x$ - Отрезки из вершины $N$: $NT = NS = z$ - Отрезки из вершины $Q$: $QR = QS = w$ Нам даны: 1) $QN = QS + SN = w + z = 10$ 2) $MN = MT + TN = x + z = 20$ 3) $MQ = MR + RQ = x + w = 24$ У нас получилась система уравнений: $ \begin{cases} w + z = 10 \\ x + z = 20 \\ x + w = 24 \end{cases} $ Сложим все три уравнения: $2x + 2w + 2z = 10 + 20 + 24$ $2(x + w + z) = 54$ $x + w + z = 27$ Теперь найдем $x$ (отрезок $MT$): $(x + w + z) - (w + z) = 27 - 10$ $x = 17$ Теперь найдем $z$ (отрезок $TN$): $x + z = 20$ $17 + z = 20$ $z = 3$ Так как $TN = z$, то: **Ответ: 3**