1. В куб вписан шар радиуса 8,5. Найдите объем куба.

Привет! Давай разберем эти задачи по стереометрии. ### Задача 1 **Дано:** $r = 8,5$ (радиус вписанного шара). **Найти:** $V_{\text{куба}}$ **Решение:** В куб вписан шар, значит, диаметр шара равен стороне куба $a$: $a = 2r = 2 \cdot 8,5 = 17$. Объем куба $V = a^3 = 17^3 = 4913$. **Ответ: 4913.** ### Задача 2 **Дано:** $d = \sqrt{300}$ (диагональ куба). **Найти:** $V_{\text{куба}}$ **Решение:** Формула диагонали куба $d = a\sqrt{3}$. $a\sqrt{3} = \sqrt{300} \Rightarrow a = \frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}} = \sqrt{100} = 10$. Объем $V = a^3 = 10^3 = 1000$. **Ответ: 1000.** ### Задача 3 **Дано:** $r = 8,5$ (радиус цилиндра), $h = 8,5$ (высота цилиндра). **Найти:** $V_{\text{параллелепипеда}}$ **Решение:** Параллелепипед описан около цилиндра. Это значит, что основание параллелепипеда — квадрат со стороной $a = 2r$, а высота параллелепипеда равна высоте цилиндра. $a = 2 \cdot 8,5 = 17$, $h = 8,5$. $V = a^2 \cdot h = 17^2 \cdot 8,5 = 289 \cdot 8,5 = 2456,5$. **Ответ: 2456,5.** ### Задача 4 **Дано:** катеты основания $a = 5$, $b = 6$; высота призмы $H = 6$. **Найти:** $V_{\text{призмы}}$ **Решение:** $V = S_{\text{осн}} \cdot H$. $S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15$. $V = 15 \cdot 6 = 90$. **Ответ: 90.** ### Задача 5 **Дано:** сторона основания $a = 3$, высота $H = 6\sqrt{3}$. **Найти:** $V_{\text{пирамиды}}$ **Решение:** $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$. Основание — равносторонний треугольник, $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$. $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{54 \cdot 3}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{162}{4} = \frac{54}{4} = 13,5$. **Ответ: 13,5.** ### Задача 6 **Дано:** начальный уровень $h_1 = 15$ см, повышение уровня $\Delta h = 12$ см. **Найти:** $V_{\text{детали}}$ **Решение:** Объем погруженной детали равен объему вытесненной жидкости. Объем цилиндра $V = S_{\text{осн}} \cdot h$. По условию $V_{\text{воды}} = 1200$ см³, $h_1 = 15$. Тогда $S_{\text{осн}} = \frac{1200}{15} = 80$ см². Объем детали равен объему цилиндра с высотой $\Delta h = 12$: $V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot 12 = 80 \cdot 12 = 960$. **Ответ: 960.** ### Задача 7 **Дано:** сторона основания $a = 6$, высота призмы $H = \pi$. **Найти:** $V_{\text{цилиндра}}$ **Решение:** Цилиндр описан около прямой призмы с квадратным основанием. Диагональ квадрата основания призмы $d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Это диаметр основания цилиндра. Радиус цилиндра $R = \frac{d}{2} = 3\sqrt{2}$. $V = \pi R^2 H = \pi \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot \pi = \pi \cdot 18 \cdot \pi = 18\pi^2$. **Ответ: $18\pi^2$.** ### Задача 8 **Дано:** $V_{\text{конуса}} = 42$. **Найти:** $V_{\text{цилиндра}}$ **Решение:** Формула объема цилиндра $V_{\text{цил}} = S_{\text{осн}} \cdot H$. Формула объема конуса $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$. Если основание и высота одинаковы, то $V_{\text{цил}} = 3 \cdot V_{\text{кон}}$. $V_{\text{цил}} = 3 \cdot 42 = 126$. **Ответ: 126.** ### Задача 9 **Дано:** $V_1 = 81$, $H_2 = 4H_1$, $R_2 = \frac{1}{3}R_1$. **Найти:** $V_2$ **Решение:** $V_1 = \pi R_1^2 H_1 = 81$. $V_2 = \pi R_2^2 H_2 = \pi (\frac{1}{3}R_1)^2 (4H_1) = \pi \cdot \frac{1}{9} R_1^2 \cdot 4 H_1 = \frac{4}{9} V_1$. $V_2 = \frac{4}{9} \cdot 81 = 4 \cdot 9 = 36$. **Ответ: 36.** ### Задача 10 **Дано:** $H = 12$, образующая $l = 14$. **Найти:** $V_{\text{конуса}} / \pi$ **Решение:** Радиус основания $R = \sqrt{l^2 - H^2} = \sqrt{14^2 - 12^2} = \sqrt{196 - 144} = \sqrt{52}$. $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 52 \cdot 12 = \pi \cdot 52 \cdot 4 = 208\pi$. Делим на $\pi$: $208$. **Ответ: 208.** ### Задача 11 **Дано:** $a = 8$, $H = 9$. **Найти:** $V_{\text{конуса}} / \pi$ **Решение:** Конус описан около пирамиды, значит, основание пирамиды вписано в основание конуса. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Это диаметр основания конуса. $R = \frac{d}{2} = 4\sqrt{2}$. $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (4\sqrt{2})^2 \cdot 9 = \frac{1}{3} \pi \cdot 32 \cdot 9 = \pi \cdot 32 \cdot 3 = 96\pi$. Делим на $\pi$: $96$. **Ответ: 96.** ### Задача 12 **Дано:** $R_2 = 6R_1$. **Найти:** отношение объемов $V_2 / V_1$. **Решение:** $V = \frac{4}{3} \pi R^3$. Если $R$ увеличится в 6 раз, то объем увеличится в $6^3 = 216$ раз. **Ответ: 216.**