1) Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 64°. Ответ дайте в градусах.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии про окружности. Буду решать по порядку. **1)** Угол $\angle ACB$ вписанный, а $\angle AOB$ — центральный, опирающиеся на одну дугу $AB$. Вписанный угол равен половине центрального: $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 64^\circ = 32^\circ$. **Ответ: 32** **2)** $AC$ и $BD$ — диаметры, значит $\angle AOB = \angle COD$ (вертикальные). $\triangle AOB$ — равнобедренный ($OA=OB=R$), значит $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - \angle AOB) / 2$. Здесь проще: $\triangle AOB$ равнобедренный, $\angle OBA = \angle OAB$. Угол $\angle ACB$ вписанный, опирается на дугу $AB$. По условию $\angle ACB = 28^\circ$, значит $\angle AOB = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ$. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ вертикальные, поэтому $\angle AOD = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$. **Ответ: 124** **3)** Центральный угол $\angle AOD = 38^\circ$. Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$ (похоже, опечатка, скорее всего $\angle ABD$ или $\angle ACD$ имеется в виду, но если опирается на дугу $AD$, то $\angle ACD = 38^\circ / 2 = 19^\circ$). Если опирается на дугу $AB$, нужно знать $\angle AOB$. Предположим, что $\angle ACB$ опирается на дугу $AD$, тогда $\angle ACB = 19^\circ$. **Ответ: 19** **4)** $\triangle ANB$ — прямоугольный, так как опирается на диаметр $AB$. Значит $\angle ANB = 90^\circ$. $\angle NMB$ опирается на ту же дугу, что и $\angle NAB$. Так как $\angle NBA = 42^\circ$, то в $\triangle ANB$ $\angle NAB = 180^\circ - 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$. Угол $\angle NMB = \angle NAB = 48^\circ$ (опираются на одну дугу $NB$). **Ответ: 48** **5)** $\triangle OAB$ — равнобедренный ($OA=OB$), значит $\angle OBA = \angle OAB = 53^\circ$. $\angle AOB = 180^\circ - 53^\circ - 53^\circ = 74^\circ$. $\angle ACB$ вписанный, $\angle ACB = \angle AOB / 2 = 37^\circ$. В $\triangle ABC$: $\angle ABC = 62^\circ$. Тогда $\angle BCO = \angle BCA - \angle OCA = 37^\circ - \dots$ (задача решается через треугольник $ABC$). $\angle BAC = 180^\circ - 62^\circ - 37^\circ = 81^\circ$. $\angle OAC = 81^\circ - 53^\circ = 28^\circ$. $\triangle OAC$ равнобедренный ($OA=OC$), $\angle OCA = \angle OAC = 28^\circ$. $\angle BCO = \angle BCA - \angle OCA = 37^\circ - 28^\circ = 9^\circ$. **Ответ: 9** **6)** $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), значит $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 57^\circ) / 2 = 61,5^\circ$. Вписанный угол $\angle BAC$ опирается на дугу $BC$, значит дуга $BC = 2 \cdot 61,5^\circ = 123^\circ$. Центральный угол $\angle BOC = 123^\circ$. **Ответ: 123** **7)** $\angle ABC = 105^\circ$, $\angle CAD = 29^\circ$. $\angle CBD = \angle CAD = 29^\circ$ (опираются на дугу $CD$). $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 105^\circ - 29^\circ = 76^\circ$. **Ответ: 76** **8)** $\angle ABD = 12^\circ$, $\angle CAD = 71^\circ$. Угол $\angle ACD = \angle ABD = 12^\circ$. В $\triangle ACD$ сумма углов $180^\circ$. $\angle ADC = 180^\circ - 71^\circ - 12^\circ = 97^\circ$. $\angle ABC = \angle ADC = 97^\circ$ (опираются на дугу $AC$ - нет, $\angle ABC$ опирается на $ADC$, а $\angle ADC$ на $ABC$). $\angle ABC = 180^\circ - 97^\circ = 83^\circ$. **Ответ: 83** **9)** Дуга $AB$ (меньшая) соотв. углу $30^\circ$, длина $L_1 = 12$. Окружность $360^\circ$. Дуга большая $360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$. Отношение длин дуг равно отношению углов: $L_2 / 12 = 330 / 30 = 11$. $L_2 = 12 \cdot 11 = 132$. **Ответ: 132** **10)** Центр на $AB$ -> $AB$ — диаметр. $ riangle ABC$ прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$). $\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ$. **Ответ: 63** **11)** $AB$ — диаметр ($R=12,5$, значит $AB = 25$). $\triangle ABC$ прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$). $AC^2 + BC^2 = AB^2$. $AC^2 + 7^2 = 25^2 \Rightarrow AC^2 = 625 - 49 = 576 \Rightarrow AC = 24$. **Ответ: 24** **12)** $AB$ — диаметр ($R=20,5$, значит $AB = 41$). $ riangle ABC$ прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$). $BC^2 + AC^2 = AB^2$. $BC^2 + 9^2 = 41^2 \Rightarrow BC^2 = 1681 - 81 = 1600 \Rightarrow BC = 40$. **Ответ: 40**