15. \sqrt[3]{19-\sqrt{105}} \cdot \sqrt[3]{19+\sqrt{105}}

Давай разберем примеры по очереди. Используем формулы сокращенного умножения и свойства корней. ### Решение: **15. $\sqrt[3]{19-\sqrt{105}} \cdot \sqrt[3]{19+\sqrt{105}}$** Воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$: $\sqrt[3]{(19-\sqrt{105})(19+\sqrt{105})} = \sqrt[3]{19^2 - (\sqrt{105})^2} = \sqrt[3]{361 - 105} = \sqrt[3]{256} = \sqrt[3]{64 \cdot 4} = 4\sqrt[3]{4}$. **16. $\sqrt[3]{43+4} \cdot \sqrt[3]{43-4}$** (предполагая, что это $\sqrt[3]{43+\dots}$ — возможно, опечатка в условии, но решим как написано): $\sqrt[3]{(43+4)(43-4)} = \sqrt[3]{47 \cdot 39} = \sqrt[3]{1833}$. *Если же имелось в виду $\sqrt[3]{43+30\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{43-30\sqrt{2}}$, результат был бы другим.* **17. $(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})$** Это формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$: $(\sqrt[3]{3})^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = 3 - 2 = 1$. **18. $(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4})$** Это формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$: $(\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{2})^3 = 5 + 2 = 7$. **25. $\frac{2}{7+4\sqrt{3}} + \frac{2}{7-4\sqrt{3}}$** Приведем к общему знаменателю: $\frac{2(7-4\sqrt{3}) + 2(7+4\sqrt{3})}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} = \frac{14 - 8\sqrt{3} + 14 + 8\sqrt{3}}{49 - 16 \cdot 3} = \frac{28}{49 - 48} = \frac{28}{1} = 28$. **26. $\frac{13}{5-2\sqrt{3}} + \frac{13}{5+2\sqrt{3}}$** Аналогично: $\frac{13(5+2\sqrt{3}) + 13(5-2\sqrt{3})}{(5-2\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})} = \frac{65 + 26\sqrt{3} + 65 - 26\sqrt{3}}{25 - 4 \cdot 3} = \frac{130}{25 - 12} = \frac{130}{13} = 10$.