(7-x)·(x^2-49)≥0

Давай решим эти неравенства по порядку методом интервалов. 1) $(7 - x)(x^2 - 49) \ge 0$ Разложим $x^2 - 49$ как разность квадратов $(x-7)(x+7)$: $(7 - x)(x - 7)(x + 7) \ge 0$ $-(x - 7)(x - 7)(x + 7) \ge 0$ $-(x - 7)^2(x + 7) \ge 0$ Умножим на $-1$ (знак неравенства меняется): $(x - 7)^2(x + 7) \le 0$ Так как $(x - 7)^2 \ge 0$, то выражение меньше или равно нулю, когда $x + 7 \le 0$ или $x = 7$. $x \le -7$ или $x = 7$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -7] \cup \{7\}$. 2) $(4 - x)(x^2 + x - 20) \ge 0$ Разложим квадратный трехчлен $x^2 + x - 20$ на множители. Корни уравнения $x^2 + x - 20 = 0$ равны $4$ и $-5$, значит $x^2 + x - 20 = (x - 4)(x + 5)$. $(4 - x)(x - 4)(x + 5) \ge 0$ $-(x - 4)(x - 4)(x + 5) \ge 0$ $-(x - 4)^2(x + 5) \ge 0$ Умножим на $-1$: $(x - 4)^2(x + 5) \le 0$ Это выполняется при $x + 5 \le 0$ или $x = 4$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -5] \cup \{4\}$. 3) $x \le \frac{64}{x}$ Перенесем всё в левую часть: $x - \frac{64}{x} \le 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 64}{x} \le 0 \Rightarrow \frac{(x - 8)(x + 8)}{x} \le 0$ Метод интервалов (точки $-8, 0, 8$): Для $x < -8$ выражение $<0$ (подходит) Для $-8 < x < 0$ выражение $>0$ Для $0 < x < 8$ выражение $<0$ (подходит) Для $x > 8$ выражение $>0$ Учитывая знаки и область допустимых значений ($x \neq 0$): **Ответ:** $x \in (-\infty; -8] \cup (0; 8]$. 4) $\frac{x^2}{x - 4} \le x$ Перенесем всё влево: $\frac{x^2}{x - 4} - x \le 0 \Rightarrow \frac{x^2 - x(x - 4)}{x - 4} \le 0 \Rightarrow \frac{x^2 - x^2 + 4x}{x - 4} \le 0 \Rightarrow \frac{4x}{x - 4} \le 0$ Корни числителя $x=0$, знаменателя $x=4$ (выколотая точка). Интервалы: $(-\infty, 0]$, $[0, 4)$, $(4, +\infty)$. Проверка знаков: на $(0, 4)$ выражение отрицательно. **Ответ:** $x \in [0; 4)$.