Г-7 Контрольная работа № 4 по теме: «Окружность и круг. Геометрические построения».

Допущение: Восстановлены знаки градусов в условии задач (28^0 -> 28°, 30^0 -> 30°). Решение задач: # 1. Решение Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. Он равнобедренный, так как $OA = OC$ (радиусы одной окружности). Угол $\angle ABC$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $AC$. Центральный угол $\angle AOC$ опирается на ту же дугу $AC$. По теореме о центральном угле, центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ$. **Ответ: 56°** # 2. Решение Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $\angle ODC = 90^\circ$. В треугольнике $\triangle ODC$ сумма углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle DOC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Катет $OD$ (радиус) равен $6$ см. Используем определение косинуса: $\cos(\angle DOC) = \frac{OD}{OC}$. $\cos(60^\circ) = \frac{6}{OC} \Rightarrow 0.5 = \frac{6}{OC} \Rightarrow OC = 12$ см. **Ответ: 12 см** # 3. Решение Рассмотрим треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OAD$. 1. $OA$ — общая сторона. 2. $\angle BAC = \angle BAD$ (по условию). 3. $OC = OD$ (радиусы окружности). Однако, для доказательства равенства хорд $AC = AD$ лучше рассмотреть центральные углы. Так как $\angle BAC = \angle BAD$, то дуги $BC$ и $BD$ (на которые опираются эти вписанные углы) равны. Следовательно, равны и соответствующие им хорды $BC$ и $BD$, или же, если рассматривать центральные углы $\angle AOC$ и $\angle AOD$, то при равных вписанных углах равны и центральные углы. Поскольку стороны $\triangle OAC$ ($OA=OC=R$) и $\triangle OAD$ ($OA=OD=R$) равны, а углы между ними ($\angle AOC$ и $\angle AOD$) равны, то треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $AC = AD$. Что и требовалось доказать.