Равнобедренный треугольник ABC (AC = BC) вписан в окружность с центром O. Известно, что AB = 18, DO = 12, где D — основание перпендикуляра из O на AB. Найдите радиус окружности.

Дано: треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=BC$), вписан в окружность с центром $O$. $AB=18$, $OD \perp AB$, $OD=12$ ($D$ лежит на $AB$). ### 1. Нахождение радиуса окружности Пусть $R$ — радиус окружности. Точки $O$, $D$, $C$ лежат на одной прямой (высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является серединным перпендикуляром и проходит через центр описанной окружности). 1. Так как $OD \perp AB$ и $AB=18$, то $AD = DB = 18/2 = 9$. 2. В прямоугольном треугольнике $ADO$ (где $AO=R$ — гипотенуза): $AO^2 = AD^2 + DO^2$ $R^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ $R = \sqrt{225} = 15$. **Ответ:** 15. ### 2. Нахождение площади треугольника $ABC$ Площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Основание $AB = 18$. Высота треугольника — отрезок $CD$. 1. $CD = CO + OD$. 2. $CO = R = 15$. 3. $CD = 15 + 12 = 27$. 4. $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 27 = 9 \cdot 27 = 243$. **Ответ:** 243.