В равнобедренном треугольнике ABC (AB = CB) BD — биссектриса, DE ⊥ AB, AE/EB = 4/9, BD + AC = 14. Найдите периметр треугольника ABC.

Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$. $BD$ — биссектриса. $DE \perp AB$. $\frac{AE}{EB} = \frac{4}{9}$, $BD + AC = 14$. Найти $P_{ABC}$. 1. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то биссектриса $BD$ также является медианой и высотой к $AC$. Следовательно, $BD \perp AC$ и $AD = DC$. Пусть $AC = 2x$, тогда $AD = DC = x$. 2. В $\triangle BDE$ ($\angle BED = 90^\circ$) и $\triangle BDA$ ($\angle BDA = 90^\circ$): они имеют общий острый угол при вершине $B$, значит, $\triangle BDE \sim \triangle BDA$ по двум углам. 3. Из подобия следует: $\frac{BE}{BD} = \frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AD}$. 4. Из $\triangle BDA$ (прямоугольный): $BD^2 = AB^2 - AD^2$. 5. Также $\frac{AE}{EB} = \frac{4}{9}$, значит $AE = 4k$, $EB = 9k$. Тогда $AB = AE + EB = 13k$. 6. В $\triangle BDE$: $BD^2 = BE^2 + DE^2$. Так как $BD$ — высота, $BD^2 = AB^2 - AD^2$. В $\triangle BDE$ по метрическим соотношениям: $BD^2 = BE \cdot BA = 9k \cdot 13k = 117k^2$. Значит, $BD = k\sqrt{117} = 3k\sqrt{13}$. 7. В $\triangle BDA$: $AD^2 = AB^2 - BD^2 = (13k)^2 - 117k^2 = 169k^2 - 117k^2 = 52k^2$. Значит, $AD = k\sqrt{52} = 2k\sqrt{13}$. 8. Так как $AD = x$, то $AC = 2x = 4k\sqrt{13}$. 9. Условие $BD + AC = 14$: $3k\sqrt{13} + 4k\sqrt{13} = 14 \Rightarrow 7k\sqrt{13} = 14 \Rightarrow k\sqrt{13} = 2$. 10. Периметр $P = AB + BC + AC = 13k + 13k + 4k\sqrt{13} = 26k + 4k\sqrt{13} = 2(13k + 2k\sqrt{13})$. 11. Подставим $k = \frac{2}{\sqrt{13}}$: $P = 26 \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} + 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \sqrt{13} = \frac{52}{\sqrt{13}} + 8 = \frac{52\sqrt{13}}{13} + 8 = 4\sqrt{13} + 8$. **Ответ:** $8 + 4\sqrt{13}$