Решите неравенство log^2_{0,5}(x^4)-x^2 / 100-x^2 <= 1.

Для решения неравенства $\frac{\log_{0,5}^2(x^4) - x^2}{100 - x^2} \le 1$ выполним следующие шаги: 1. **Определим область допустимых значений (ОДЗ):** - Аргумент логарифма должен быть положителен: $x^4 > 0 \Rightarrow x \neq 0$. - Знаменатель не может быть равен нулю: $100 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 10$. ОДЗ: $x \in (-\infty; -10) \cup (-10; 0) \cup (0; 10) \cup (10; +\infty)$. 2. **Упростим выражение:** Заметим, что $\log_{0,5}(x^4) = \log_{2^{-1}}(x^4) = -\log_2(x^4) = -\log_2((x^2)^2) = -2\log_2(x^2)$. Тогда $\log_{0,5}^2(x^4) = (-2\log_2(x^2))^2 = 4\log_2^2(x^2)$. 3. **Перенесем все в левую часть:** $\frac{4\log_2^2(x^2) - x^2}{100 - x^2} - 1 \le 0$ $\frac{4\log_2^2(x^2) - x^2 - (100 - x^2)}{100 - x^2} \le 0$ $\frac{4\log_2^2(x^2) - 100}{100 - x^2} \le 0$ Разделим числитель и знаменатель на 4: $\frac{\log_2^2(x^2) - 25}{100 - x^2} \le 0$ $\frac{(\log_2(x^2) - 5)(\log_2(x^2) + 5)}{(10 - x)(10 + x)} \le 0$ 4. **Найдем нули выражений:** - $\log_2(x^2) = 5 \Rightarrow x^2 = 32 \Rightarrow x = \pm \sqrt{32} = \pm 4\sqrt{2} \approx \pm 5,66$ - $\log_2(x^2) = -5 \Rightarrow x^2 = 2^{-5} = \frac{1}{32} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{32}} = \pm \frac{1}{4\sqrt{2}} \approx \pm 0,177$ - $10 - x = 0 \Rightarrow x = 10$ - $10 + x = 0 \Rightarrow x = -10$ 5. **Метод интервалов:** Отметим точки на числовой прямой: $-10, -4\sqrt{2}, -\frac{1}{4\sqrt{2}}, \frac{1}{4\sqrt{2}}, 4\sqrt{2}, 10$. Расставим знаки на интервалах. Учитывая ОДЗ (выколотые точки $\pm 10, 0$): - $(-\infty; -10)$ — плюс - $(-10; -4\sqrt{2}]$ — минус - $[-4\sqrt{2}; -\frac{1}{4\sqrt{2}}]$ — плюс - $[-\frac{1}{4\sqrt{2}}; 0)$ — минус - $(0; \frac{1}{4\sqrt{2}}]$ — минус - $[\frac{1}{4\sqrt{2}}; 4\sqrt{2}]$ — плюс - $[4\sqrt{2}; 10)$ — минус - $(10; +\infty)$ — плюс Нас интересуют интервалы, где выражение $\le 0$: $x \in (-10; -4\sqrt{2}] \cup [-\frac{1}{4\sqrt{2}}; 0) \cup (0; \frac{1}{4\sqrt{2}}] \cup [4\sqrt{2}; 10)$. **Ответ:** $x \in (-10; -4\sqrt{2}] \cup [-\frac{1}{4\sqrt{2}}; 0) \cup (0; \frac{1}{4\sqrt{2}}] \cup [4\sqrt{2}; 10)$.