От озерной пристани отошла моторная лодка со скоростью 25 км/ч, а одновременно с этим из порта вышел теплоход «Комета» со скоростью 20 км/ч. Расстояние между пристанью и портом равно 180 км. Через какое время расстояние между лодкой и теплоходом в первый раз изменится вдвое?

Пусть $t$ — время в часах, прошедшее с момента начала движения. За это время лодка проплывет $25t$ км, а теплоход — $20t$ км. Так как они движутся навстречу друг другу, расстояние между ними в момент времени $t$ равно: $S(t) = 180 - (25t + 20t) = 180 - 45t$. Нам нужно, чтобы расстояние изменилось вдвое. Это значит, что новое расстояние должно быть либо в 2 раза меньше начального (то есть $180 / 2 = 90$ км), либо в 2 раза больше начального (то есть $180 \times 2 = 360$ км). Рассмотрим оба случая: 1) Расстояние уменьшилось вдвое (стало 90 км): $180 - 45t = 90$ $45t = 90$ $t = 2$ (часа) 2) Расстояние увеличилось вдвое (стало 360 км — это возможно, если суда уже встретились и разошлись в разные стороны): $|180 - 45t| = 360$ Так как $t$ положительно, рассмотрим два варианта раскрытия модуля: А) $180 - 45t = 360 \Rightarrow -45t = 180 \Rightarrow t = -4$ (не подходит, время не может быть отрицательным). Б) $180 - 45t = -360 \Rightarrow -45t = -540 \Rightarrow t = 12$ (часов). **Ответ: 2 ч и 12 ч.**