Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: а) точка D — середина стороны ВС; б) ∠A = ∠B + ∠C.

Дано: треугольник $ABC$, серединные перпендикуляры к $AB$ и $AC$ пересекаются в точке $D$, лежащей на $BC$. Доказательство: а) Пусть $m_1$ — серединный перпендикуляр к $AB$, $m_2$ — серединный перпендикуляр к $AC$. По условию $D$ лежит на $m_1$, значит $DA = DB$ (точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка). Также $D$ лежит на $m_2$, значит $DA = DC$. Следовательно, $DB = DC$. Так как точка $D$ лежит на отрезке $BC$ и $DB = DC$, то $D$ является серединой $BC$. б) Так как $DA = DB$, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AB$. Значит, углы при основании равны: $\angle DAB = \angle B$. Так как $DA = DC$, треугольник $ACD$ — равнобедренный с основанием $AC$. Значит, $\angle DAC = \angle C$. Складывая эти равенства, получаем: $\angle A = \angle DAB + \angle DAC = \angle B + \angle C$. Что и требовалось доказать.