2^x - 8 / 2^x + 8 + 2^x + 8 / 2^x - 8 >= 2^x+4 + 96 / 4^x - 64

Для решения неравенства $\frac{2^x - 8}{2^x + 8} + \frac{2^x + 8}{2^x - 8} \ge \frac{2^{x+4} + 96}{4^x - 64}$ выполним следующие шаги: 1. Введем замену: пусть $t = 2^x$. Тогда $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$. Неравенство примет вид: $\frac{t - 8}{t + 8} + \frac{t + 8}{t - 8} \ge \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$ 2. Заметим, что $t^2 - 64 = (t - 8)(t + 8)$. Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{(t - 8)^2 + (t + 8)^2}{(t + 8)(t - 8)} \ge \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$ 3. Так как $(t + 8)(t - 8) = t^2 - 64$, знаменатели совпадают. Учтем область допустимых значений (ОДЗ): $t \neq 8$, $t \neq -8$. Поскольку $t = 2^x > 0$, условие $t \neq -8$ выполняется всегда. $\frac{t^2 - 16t + 64 + t^2 + 16t + 64}{t^2 - 64} \ge \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$ 4. Упростим числитель: $\frac{2t^2 + 128}{t^2 - 64} \ge \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$ 5. Перенесем всё в левую часть: $\frac{2t^2 - 16t + 32}{t^2 - 64} \ge 0$ 6. Разделим на 2 и разложим на множители: $\frac{t^2 - 8t + 16}{(t - 8)(t + 8)} \ge 0 \Rightarrow \frac{(t - 4)^2}{(t - 8)(t + 8)} \ge 0$ 7. Решим методом интервалов для $t$. Критические точки: $t=4$ (числитель 0), $t=8$ (знаменатель 0, выколотая), $t=-8$ (знаменатель 0, выколотая). Поскольку $t > 0$, рассмотрим только $t > 0$: - На интервале $(0; 4]$ выражение $\ge 0$ (при $t=4$ равно 0). - На интервале $(4; 8)$ выражение $< 0$. - На интервале $(8; +\infty)$ выражение $> 0$. 8. Значит, решение для $t$: $t \in (0; 4] \cup (8; +\infty)$. 9. Вернемся к $x$ ($t = 2^x$): - $2^x \le 4 \Rightarrow 2^x \le 2^2 \Rightarrow x \le 2$. - $2^x > 8 \Rightarrow 2^x > 2^3 \Rightarrow x > 3$. **Ответ:** $x \in (-\infty; 2] \cup (3; +\infty)$.