Решите неравенство log_{2-x}(x+2) * log_{x+3}(3-x) <= 0.

Для решения неравенства $\log_{2-x}(x+2) \cdot \log_{x+3}(3-x) \leq 0$ определим область допустимых значений (ОДЗ): 1. Основания логарифмов должны быть положительными и не равными 1: - $2-x > 0 \implies x < 2$ - $2-x \neq 1 \implies x \neq 1$ - $x+3 > 0 \implies x > -3$ - $x+3 \neq 1 \implies x \neq -2$ 2. Аргументы логарифмов должны быть положительными: - $x+2 > 0 \implies x > -2$ - $3-x > 0 \implies x < 3$ Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: $x \in (-2, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, 2)$. Применим метод рационализации для логарифмов: $\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$. Неравенство принимает вид: $\frac{\ln(x+2)}{\ln(2-x)} \cdot \frac{\ln(3-x)}{\ln(x+3)} \leq 0$ Используем формулу рационализации $\log_{A} B = \frac{B-1}{A-1}$ для знака выражения: $\frac{(x+2-1)}{(2-x-1)} \cdot \frac{(3-x-1)}{(x+3-1)} \leq 0$ $\frac{x+1}{1-x} \cdot \frac{2-x}{x+2} \leq 0$ Рассмотрим знаки множителей на ОДЗ: - $(x+1)$ меняет знак при $x=-1$ - $(1-x)$ меняет знак при $x=1$ - $(2-x)$ меняет знак при $x=2$ - $(x+2)$ меняет знак при $x=-2$ Методом интервалов на области $(-2, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, 2)$: - $(-2, -1): (\frac{-}{+} \cdot \frac{+}{+}) = - \leq 0$ (подходит) - $(-1, 1): (\frac{+}{+} \cdot \frac{+}{+}) = + \geq 0$ (не подходит) - $(1, 2): (\frac{+}{-} \cdot \frac{+}{+}) = - \leq 0$ (подходит) Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$.