Решите неравенство 1/log_{x-1}(x/6) >= -1.

Для решения неравенства $\frac{1}{\log_{x-1} \frac{x}{6}} \geq -1$ выполним следующие шаги: 1. **Определим область допустимых значений (ОДЗ):** - Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $x-1 > 0$ и $x-1 \neq 1$, откуда $x > 1$ и $x \neq 2$. - Подлогарифмическое выражение должно быть положительным: $\frac{x}{6} > 0 \Rightarrow x > 0$. - Знаменатель не может быть равен нулю: $\log_{x-1} \frac{x}{6} \neq 0 \Rightarrow \frac{x}{6} \neq 1 \Rightarrow x \neq 6$. - Пересекая условия ($x > 1, x \neq 2, x \neq 6$), получаем ОДЗ: $x \in (1, 2) \cup (2, 6) \cup (6, +\infty)$. 2. **Решение неравенства:** Перенесем -1 в левую часть: $\frac{1}{\log_{x-1} \frac{x}{6}} + 1 \geq 0 \Rightarrow \frac{1 + \log_{x-1} \frac{x}{6}}{\log_{x-1} \frac{x}{6}} \geq 0$. Заметим, что $1 = \log_{x-1} (x-1)$. Тогда: $\frac{\log_{x-1} (x-1) + \log_{x-1} \frac{x}{6}}{\log_{x-1} \frac{x}{6}} \geq 0 \Rightarrow \frac{\log_{x-1} (\frac{x(x-1)}{6})}{\log_{x-1} \frac{x}{6}} \geq 0$. 3. **Метод интервалов:** Решим уравнение $\frac{x^2 - x}{6} = 1 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = -2$. Так как $x > 1$, берем $x = 3$. Решим уравнение $\frac{x}{6} = 1 \Rightarrow x = 6$. Также критическая точка основания: $x-1 = 1 \Rightarrow x = 2$. Разбиваем область на интервалы и проверяем знаки: - При $x \in (1, 2)$: $\log_{x-1} (\dots)$ отрицателен, знаменатель положителен $\Rightarrow$ вся дробь отрицательна. - При $x \in (2, 3]$: $\log_{x-1} (\dots) \leq 0$, $\log_{x-1} \frac{x}{6} < 0$. Дробь $\geq 0$. - При $x \in [3, 6)$: $\log_{x-1} (\dots) \geq 0$, $\log_{x-1} \frac{x}{6} < 0$. Дробь $\leq 0$. - При $x \in (6, +\infty)$: оба логарифма положительны. Дробь $> 0$. Учитывая ОДЗ, объединяем промежутки: $x \in (2, 3] \cup (6, +\infty)$. **Ответ:** $x \in (2, 3] \cup (6, +\infty)$.