(1 балл) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём AC — её диаметр. Точка O — точка пересечения диагоналей. Найдите ∠AOD, если ∠BAC = 30°, ∠CAD = 58°.

Дано: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. AC — диаметр. O — точка пересечения диагоналей AC и BD. ∠BAC = 30°. ∠CAD = 58°. Найти: ∠AOD. Решение: 1. Рассмотрим треугольник AOD. Угол ∠AOD — это угол между диагоналями AC и BD. 2. Угол ∠AOD является внешним для треугольника ABO (или можно рассмотреть треугольник ADO). 3. Вспомним свойства вписанных углов: - Угол ∠CAD опирается на дугу CD, значит, дуга CD = 2 * ∠CAD = 2 * 58° = 116°. - Угол ∠ABD также опирается на дугу AD. Но нам нужно найти связь с углом ∠AOD. 4. Угол ∠AOD можно найти как сумму углов треугольника. Рассмотрим треугольник AOD: ∠ADO + ∠DAO + ∠AOD = 180°. - Угол ∠DAO = ∠CAD = 58° (по условию). - Угол ∠ADO — это вписанный угол, опирающийся на дугу AB. - Угол ∠BAC опирается на дугу BC, значит, дуга BC = 2 * ∠BAC = 2 * 30° = 60°. - Угол ∠BDC — вписанный, опирается на дугу BC, значит ∠BDC = ∠BAC = 30°. - Угол ∠ADO = ∠ADC - ∠BDC. Чтобы найти ∠ADC, вспомним, что угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Угол ∠ABC = 90° и ∠ADC = 90°. - Тогда ∠ADO = 90° - 30° = 60°. 5. Теперь в треугольнике AOD: ∠AOD = 180° - (∠DAO + ∠ADO) = 180° - (58° + 60°) = 180° - 118° = 62°. Ответ: ∠AOD = 62°.