6. В пригороде построили 12 домов. Теперь необходимо проложить каменные дорожки между ними. Сколько получится дорожек, если один дом хотят соединить с двумя домами, три дома — с семью другими домами, пять домов — с пятью другими домами, два дома — с шестью и один — с четырьмя другими?

### Решение задачи 6 У каждого дома есть определенное количество «выходов» (дорожек). Чтобы найти общее число дорожек, нужно сложить количество дорожек для всех домов и поделить сумму на 2, так как каждая дорожка соединяет два дома (то есть учитывается дважды). 1. Составим сумму дорожек: - 1 дом с 2 дорожками: $1 \times 2 = 2$ - 3 дома с 7 дорожками: $3 \times 7 = 21$ - 5 домов с 5 дорожками: $5 \times 5 = 25$ - 2 дома с 6 дорожками: $2 \times 6 = 12$ - 1 дом с 4 дорожками: $1 \times 4 = 4$ 2. Сумма дорожек: $2 + 21 + 25 + 12 + 4 = 64$. 3. Так как дорожка соединяет два дома, количество дорожек: $64 / 2 = 32$. **Ответ:** 32 дорожки. ### Решение задачи 7 Воспользуемся формулой включений-исключений для трех множеств (ученики, получающие 5, 4, 3). Пусть $A$ — множество получающих «5», $B$ — получающих «4», $C$ — получающих «3». Известно: - $|A| = 20, |B| = 21, |C| = 15$ - $|A \cap B| = 12, |A \cap C| = 6, |B \cap C| = 8$ - $|A \cap B \cap C| = 1$ Находим количество тех, кто получает хотя бы одну оценку из трех (5, 4 или 3): $|A \cup B \cup C| = (|A| + |B| + |C|) - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$ $|A \cup B \cup C| = (20 + 21 + 15) - (12 + 6 + 8) + 1 = 56 - 26 + 1 = 31$. Всего учеников 35. Значит, тех, кто не получает 5, 4 или 3 (то есть получает только 2): $35 - 31 = 4$. **Ответ:** 4 ученика.