Question

Дано равенство (x−5)(x^2 −18x +. . .) = (x−9)(x^2 −14x +. . .). Вместо многоточий стоят некоторые числа, выбранные так, что равенство верно при любом значении x. Найдите эти числа

Accepted Answer

Пусть искомые числа равны $a$ и $b$. Тогда равенство принимает вид:
$(x - 5)(x^2 - 18x + a) = (x - 9)(x^2 - 14x + b)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Левая часть:
$(x - 5)(x^2 - 18x + a) = x(x^2 - 18x + a) - 5(x^2 - 18x + a) = x^3 - 18x^2 + ax - 5x^2 + 90x - 5a = x^3 - 23x^2 + (a + 90)x - 5a$

Правая часть:
$(x - 9)(x^2 - 14x + b) = x(x^2 - 14x + b) - 9(x^2 - 14x + b) = x^3 - 14x^2 + bx - 9x^2 + 126x - 9b = x^3 - 23x^2 + (b + 126)x - 9b$

Так как равенство должно выполняться при любом $x$, коэффициенты при соответствующих степенях $x$ должны быть равны.

1. Коэффициенты при $x^3$ равны ($1=1$).
2. Коэффициенты при $x^2$ равны ($-23 = -23$).
3. Коэффициенты при $x$ должны быть равны:
$a + 90 = b + 126 \Rightarrow a - b = 36$
4. Свободные члены должны быть равны:
$-5a = -9b \Rightarrow 5a = 9b \Rightarrow a = 1.8b$

Подставим $a = 1.8b$ в первое уравнение:
$1.8b - b = 36$
$0.8b = 36$
$b = 36 / 0.8 = 45$

Найдем $a$:
$a = 1.8 * 45 = 81$

Ответ: первое число равно 81, второе число равно 45.

Дано равенство (x−5)(x^2 −18x +. . .) = (x−9)(x^2 −14x +. . .). Вместо многоточий стоят некоторые числа, выбранные так, что равенство верно при любом значении x. Найдите эти числа

Ответ ассистента

Другие решения