Вариант 1 1. Дано: ∠BAD = ∠BCD = 90°, ∠ADB = 15°, ∠BDC = 75° (рис. 4.245). Доказать: AD || BC.

Привет! Давай разберем задачи из Варианта 1. ### Вариант 1 **Задача 1** Дано: $\angle BAD = 90^\circ, \angle BCD = 90^\circ, \angle ADB = 15^\circ, \angle BDC = 75^\circ$. Доказать: $AD \parallel BC$. *Решение:* Рассмотрим углы $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 15^\circ + 75^\circ = 90^\circ$. Теперь рассмотрим сумму односторонних углов при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $CD$: $\angle ADC + \angle BCD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, значит, $AD \parallel BC$ по признаку параллельности прямых. **Задача 2** Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 60^\circ, \angle B = 90^\circ, BB_1 = 2$ см (высота). Найти: $AB$. *Решение:* В прямоугольном треугольнике $BB_1C$ угол $\angle C = 60^\circ$, значит, $\angle CBB_1 = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $BB_1$ лежит против угла $60^\circ$, но удобнее найти гипотенузу $BC$ через синус: $\sin(60^\circ) = \frac{BB_1}{BC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{BC} \Rightarrow BC = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Теперь рассмотрим $\triangle ABC$: $\angle C = 60^\circ, \angle B = 90^\circ$, тогда $\angle A = 30^\circ$. Катет $BC$ лежит против угла $30^\circ$, значит, он в 2 раза меньше гипотенузы $AC$ (здесь катет $BC$ — противолежащий к углу $A$, но нам нужно $AB$). $AB = BC \cdot \tan(60^\circ) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = 4$ см. **Ответ: 4 см.** **Задача 3** Построение: 1. Проведи основание (отрезок $AC$). 2. Построй серединный перпендикуляр к $AC$ (место пересечения будет вершиной). 3. На этом перпендикуляре отложи заданную высоту. 4. Соедини полученную вершину с концами основания. **Задача 4*** Построение угла $150^\circ$: Это $180^\circ - 30^\circ$. Построй развернутый угол ($180^\circ$), затем построение угла $30^\circ$ (как половину $60^\circ$, который строится как угол равностороннего треугольника) вычти из развернутого.