Решите систему уравнений: 471 в) 3^x + 3^y = 12, 6^{x+y} = 216

### Решение упражнения 471 **в)** $\begin{cases} 3^x + 3^y = 12 \\ 6^{x+y} = 216 \end{cases}$ 1. Преобразуем второе уравнение: $6^{x+y} = 6^3$, откуда $x+y=3$, значит $y = 3 - x$. 2. Подставим в первое уравнение: $3^x + 3^{3-x} = 12$, значит $3^x + \frac{27}{3^x} = 12$. 3. Введем замену $t = 3^x$ ($t > 0$): $t + \frac{27}{t} = 12 \implies t^2 - 12t + 27 = 0$. 4. Корни уравнения: $t_1 = 9$, $t_2 = 3$. - Если $3^x = 9$, то $x=2$, $y=3-2=1$. - Если $3^x = 3$, то $x=1$, $y=3-1=2$. **Ответ:** $(2; 1), (1; 2)$. **г)** $\begin{cases} 4^{x+y} = 128 \\ 5^{3x-2y-3} = 1 \end{cases}$ 1. Преобразуем уравнения к основаниям степеней: - $2^{2(x+y)} = 2^7 \implies 2x + 2y = 7$ - $3x - 2y - 3 = 0 \implies 3x - 2y = 3$ 2. Сложим уравнения: $(2x + 2y) + (3x - 2y) = 7 + 3 \implies 5x = 10 \implies x = 2$. 3. Найдем $y$: $2(2) + 2y = 7 \implies 4 + 2y = 7 \implies 2y = 3 \implies y = 1,5$. **Ответ:** $(2; 1,5)$. ### Решение упражнения 473 **в)** $(\frac{4}{3})^{x+1} - (\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16}$ 1. Вынесем $(\frac{4}{3})^x$: $(\frac{4}{3})^x \cdot (\frac{4}{3} - 1) > \frac{3}{16} \implies (\frac{4}{3})^x \cdot \frac{1}{3} > \frac{3}{16}$. 2. Умножим на 3: $(\frac{4}{3})^x > \frac{9}{16} \implies (\frac{4}{3})^x > (\frac{3}{4})^2 \implies (\frac{4}{3})^x > (\frac{4}{3})^{-2}$. 3. Так как основание $> 1$, то $x > -2$. **Ответ:** $x \in (-2; +\infty)$. **г)** $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28$ 1. Разложим на множители: $3^x \cdot 9 + 3^x \cdot \frac{1}{3} < 28$. 2. Вынесем $3^x$: $3^x \cdot (9 + \frac{1}{3}) < 28 \implies 3^x \cdot \frac{28}{3} < 28$. 3. Разделим на $\frac{28}{3}$: $3^x < 3 \implies 3^x < 3^1 \implies x < 1$. **Ответ:** $x \in (-\infty; 1)$.