464 В цилиндр вписана правильная n-угольная призма. Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8; д) n — произвольное целое число.

### Решение задачи 464 Пусть радиус цилиндра равен $R$, а высота — $H$. Тогда объём цилиндра $V_{ц} = \pi R^2 H$. Правильная $n$-угольная призма вписана в цилиндр, значит, её высота равна $H$, а её основание — правильный $n$-угольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Площадь правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$: $S_{осн} = \frac{n}{2} R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) = \frac{n}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$. Объём призмы: $V_{пр} = S_{осн} \cdot H = \frac{n}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \cdot H$. Отношение объёмов: $\frac{V_{пр}}{V_{ц}} = \frac{\frac{n}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \cdot H}{\pi R^2 H} = \frac{n}{2\pi} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$. **Ответы:** а) $n=3: \frac{3}{2\pi} \sin(120^\circ) = \frac{3}{2\pi} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$ б) $n=4: \frac{4}{2\pi} \sin(90^\circ) = \frac{2}{\pi} \cdot 1 = \frac{2}{\pi}$ в) $n=6: \frac{6}{2\pi} \sin(60^\circ) = \frac{3}{\pi} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$ г) $n=8: \frac{8}{2\pi} \sin(45^\circ) = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}$ д) $\frac{n}{2\pi} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ --- ### Решение задачи 465 Дано: прямоугольный треугольник в основании, катет $a$, прилежащий к нему угол $\alpha$. Высота призмы $h$. Призма вписана в цилиндр, значит, цилиндр описан около призмы. 1. Найдём второй катет $b = a \cdot \tan \alpha$. 2. Найдём гипотенузу $c$ треугольника (это диаметр описанной окружности основания цилиндра): $c = \frac{a}{\cos \alpha}$. 3. Радиус цилиндра $R = \frac{c}{2} = \frac{a}{2 \cos \alpha}$. 4. Объём цилиндра $V = \pi R^2 h = \pi \left(\frac{a}{2 \cos \alpha}\right)^2 h = \frac{\pi a^2 h}{4 \cos^2 \alpha}$. **Ответ:** $V = \frac{\pi a^2 h}{4 \cos^2 \alpha}$.