1. Найдите угол, смежный с углом 138°.

### Часть 1 1. Угол, смежный с углом $138^{\circ}$, равен: $180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}$. 2. Так как углы $AOB$ и $DOC$ — вертикальные, то $\angle DOC = \angle AOB = 37^{\circ}$. 3. Периметр равнобедренного треугольника: $P = 9 + 7 + 7 = 23$ см. 4. Да, прямые $a$ и $b$ параллельны, так как соответствующие углы при секущей равны ($47^{\circ} = 47^{\circ}$). 5. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$. Третий угол равен: $180^{\circ} - (53^{\circ} + 62^{\circ}) = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$. 6. Такой треугольник не существует, так как по неравенству треугольника сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей: $3 + 9 = 12$, а $12 < 14$. 7. Катет, лежащий против угла $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы: $BC = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = 16 \cdot 0,5 = 8$ см. ### Часть 2 1. Доказательство: $\triangle ABF = \triangle ADF$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними): $AB = AD$ (по условию), $\angle BAF = \angle DAF$ (по условию), $AF$ — общая сторона. 2. Пусть одна часть равна $x$. Тогда углы равны $2x, 3x, 4x$. $2x + 3x + 4x = 180^{\circ} \Rightarrow 9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$. Углы: $40^{\circ}, 60^{\circ}, 80^{\circ}$. 3. Пусть $\angle 3 = x$, тогда $\angle 4 = 4x$. Так как это смежные углы (в сумме $180^{\circ}$): $x + 4x = 180^{\circ} \Rightarrow 5x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 36^{\circ}$. Ответ: $36^{\circ}$ и $144^{\circ}$. 4. В прямоугольном $\triangle AMC$ ($\angle AMC=90^{\circ}$): $\cos A = AM/AC = 1/2$. Значит, $\angle A = 60^{\circ}$. Тогда в $\triangle ABC$: $\angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.