В правильной треугольной пирамиде полная поверхность равна 16√3 дм², а площадь основания — 4√3 дм². Найдите боковое ребро и плоский угол при вершине пирамиды.

Дано: - Правильная треугольная пирамида. - Полная площадь поверхности $S_{полн} = 16\sqrt{3}$ дм². - Площадь основания $S_{осн} = 4\sqrt{3}$ дм². Решение: 1. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = S_{полн} - S_{осн} = 16\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ дм². 2. Основание — правильный треугольник со стороной $a$. Площадь правильного треугольника $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \Rightarrow a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$ дм. 3. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_б) = \frac{3}{2} \cdot 4 \cdot h_б = 6h_б$, где $h_б$ — апофема (высота боковой грани). $6h_б = 12\sqrt{3} \Rightarrow h_б = 2\sqrt{3}$ дм. 4. Найдем боковое ребро $l$. Рассмотрим боковую грань: это равнобедренный треугольник со стороной $a=4$ и высотой $h_б = 2\sqrt{3}$. Половина стороны основания равна 2. Боковое ребро $l$ по теореме Пифагора: $l = \sqrt{h_б^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$ дм. 5. Найдем плоский угол при вершине $\alpha$. Рассмотрим боковую грань: стороны $l=4, l=4, a=4$. Это равносторонний треугольник. Следовательно, все углы равны $60^\circ$. Ответ: Боковое ребро равно 4 дм, плоский угол при вершине равен 60°.