Известно, что OK = OM. ∠3 = ∠5, ∠4 + ∠5 = 106°. Найдите градусные меры ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 (соответственно).

### Решение задачи 4 Дано: $OK = OM$, $\angle 3 = \angle 5$, $\angle 4 + \angle 5 = 106^\circ$. 1. Так как $OK = OM$, треугольник $KOM$ — равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: $\angle OKM = \angle OMK$. На рисунке эти углы обозначены как $\angle 3$ и $\angle 5$ (внутренние накрест лежащие углы, если прямые параллельны, либо просто углы при основании, так как $O, M, K$ образуют треугольник). Условие $\angle 3 = \angle 5$ подтверждает равнобедренность. 2. Сумма углов в треугольнике $KOM$ равна $180^\circ$. $\angle 4$ — это угол при вершине $O$ в треугольнике $KOM$, а $\angle 4 + \angle 5 = 106^\circ$. Поскольку $\angle 3 = \angle 5$, то $\angle 4 + \angle 3 = 106^\circ$. 3. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ образуют смежные углы или вертикальные с другими, но проще заметить: $180^\circ = \angle 4 + \angle 3 + \angle 5 = (\angle 4 + \angle 5) + \angle 3 = 106^\circ + \angle 3$. Отсюда $\angle 3 = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$. 4. Тогда $\angle 5 = 74^\circ$. Угол $\angle 4 = 106^\circ - 74^\circ = 32^\circ$. 5. Углы при параллельных прямых: $\angle 1 = \angle 3 = 74^\circ$ (накрест лежащие), $\angle 2 = 180^\circ - (\angle 1 + \angle 4)$ — это не требуется, так как $\angle 1, \angle 2, \angle 3$ лежат на одной прямой в вершине $K$. $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$, значит $\angle 2 = 180^\circ - 74^\circ - 74^\circ = 32^\circ$. Ответ: вариант 3 (74°, 32°, 74°, 32°, 74°). ### Решение задачи 5 Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $BC = 200$ мм, $CO$ — высота, $OP$ — высота $\triangle OBC$. 1. В $\triangle OBC$: $\angle OPC = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. Следовательно, $\angle BOC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 2. Высота $CO$ в $\triangle ABC$ также является катетом для $\triangle OBC$ (как высота к гипотенузе $AB$ в прямоугольном треугольнике, но здесь $CO$ проведена из $C$ к $AB$). 3. В $\triangle OBC$ ($CO \perp AB$): $\angle OCB = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 4. В $\triangle OPC$ ($OP \perp BC$): $\angle COP = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 5. В прямоугольном $\triangle OPC$: $OP$ — катет против угла $\angle OCP = 60^\circ$ или просто используем свойства треугольника с углами $30, 60, 90$. 6. $CO = BC \cdot \sin(30^\circ) = 200 \cdot 0,5 = 100$ мм. 7. В $\triangle OPC$: $OP = CO \cdot \sin(60^\circ)$ — это неверно, $OP$ — это катет против $30^\circ$ в треугольнике $OPC$ (где $\angle COP = 30^\circ$), значит $OP = CO \cdot \cos(30^\circ) = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 86.6$. *Перепроверим:* В $\triangle OBC$ ($CO \perp AB$): $CO = BC \cdot \sin(30^\circ) = 200 \cdot 0.5 = 100$. В $\triangle OPC$: $OP = CO \cdot \sin(60^\circ) = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 86.6$. Вероятно, в условии ошибка или требуется найти не $OP$, а $CP$ ($CP = CO \cdot \sin(30^\circ) = 100 \cdot 0.5 = 50$ мм). Учитывая варианты ответов, правильный ответ — 1) 50 мм.