1. Дана функция y = 0,5x^4 - 4x^2. Найдите:

### Решение задания 1 Дана функция $y = 0{,}5x^4 - 4x^2$. Найдем производную: $y' = (0{,}5x^4)' - (4x^2)' = 2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x - 2)(x + 2)$. Приравняем производную к нулю: $2x(x - 2)(x + 2) = 0$. Критические точки: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$. **а) Промежутки возрастания и убывания:** Метод интервалов для $y'$: - На интервале $(-\infty, -2)$: $y' < 0$ (функция убывает). - На интервале $(-2, 0)$: $y' > 0$ (функция возрастает). - На интервале $(0, 2)$: $y' < 0$ (функция убывает). - На интервале $(2, +\infty)$: $y' > 0$ (функция возрастает). **б) Точки экстремума:** - $x = -2$ — точка минимума. - $x = 0$ — точка максимума. - $x = 2$ — точка минимума. **в) Наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-1, 3]$:** Вычислим значения функции в критических точках, попадающих в отрезок (это $x = 0$ и $x = 2$), и на концах отрезка ($x = -1, x = 3$): - $y(-1) = 0{,}5(-1)^4 - 4(-1)^2 = 0{,}5 - 4 = -3{,}5$. - $y(0) = 0{,}5(0)^4 - 4(0)^2 = 0$. - $y(2) = 0{,}5(2)^4 - 4(2)^2 = 0{,}5 imes 16 - 4 imes 4 = 8 - 16 = -8$. - $y(3) = 0{,}5(3)^4 - 4(3)^2 = 0{,}5 imes 81 - 4 imes 9 = 40{,}5 - 36 = 4{,}5$. Наименьшее значение: $-8$. Наибольшее значение: $4{,}5$. ### Решение задания 2 Для построения графика $y = 0{,}5x^4 - 4x^2$ используем: - Нули функции: $0{,}5x^4 - 4x^2 = 0 \Rightarrow 0{,}5x^2(x^2 - 8) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm \sqrt{8} \approx \pm 2{,}83$. - Экстремумы (найдены в №1): $(-2, -8), (0, 0), (2, -8)$. - Четная функция (график симметричен относительно оси $Oy$). ### Решение задания 3 Дана функция $f(x) = \frac{6}{x}$ и точка $x_0 = 3$. 1. Значение функции: $f(3) = \frac{6}{3} = 2$. 2. Производная: $f'(x) = -\frac{6}{x^2}$. 3. Значение производной в точке $x_0 = 3$: $f'(3) = -\frac{6}{3^2} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$. 4. Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. $y = 2 - \frac{2}{3}(x - 3) = 2 - \frac{2}{3}x + 2 = -\frac{2}{3}x + 4$. **Ответ:** 1. а) убывает: $(-\infty, -2] \cup [0, 2]$; возрастает: $[-2, 0] \cup [2, + fty)$; б) $x_{min} = -2, x_{max} = 0, x_{min} = 2$; в) $min = -8, max = 4{,}5$. 3. $y = -\frac{2}{3}x + 4$.