18. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 4√2.

Допущение: Восстановлено условие: «меньшее основание трапеции равно 4√2». Дано: ABCD — прямоугольная трапеция (AD || BC, ∠D = 90° или ∠A=90°? В условии сказано угол A = 45°, значит, трапеция прямоугольная при основании CD или AB). В прямоугольной трапеции при основании $AD$ и $BC$, если $\angle A = 45^\circ$ (острый), то $\angle B$ — тупой (или прямой). Обычно в таких задачах прямоугольная трапеция имеет прямые углы при боковой стороне, перпендикулярной основаниям. Пусть $\angle D = \angle C = 90^\circ$ (это невозможно для трапеции), значит, прямые углы при боковой стороне $CD$ (то есть $\angle C = 90^\circ, \angle D = 90^\circ$). Тогда $\angle A = 45^\circ$, значит $\angle B = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. 1. Пусть $BC = 4\sqrt{2}$ (меньшее основание). 2. $AC$ — биссектриса угла $A$, значит $\angle BAC = \angle CAD = 45^\circ / 2 = 22.5^\circ$. Это кажется странным. Возможно, имеется в виду, что $\angle A = 90^\circ$ и другой угол... Перечитаем: "В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$, равного $45^\circ$". Если $\angle A = 45^\circ$, то трапеция не может быть прямоугольной при основании $AD$, так как в прямоугольной трапеции углы при боковой стороне дают $180^\circ$. Если $\angle A = 45^\circ$ и $CD \perp AD$, то угол $A$ должен быть $90^\circ$. Возможно, в условии опечатка, и либо трапеция не прямоугольная, либо угол $A$ не $45^\circ$. Однако, часто в таких задачах подразумевается: $\angle A = 45^\circ$ — это часть угла трапеции, или трапеция прямоугольная, а угол $CAD = 45^\circ$. Предположим классическую задачу: трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$), $\angle C = \angle D = 90^\circ$ (опечатка в условии, прямоугольная — значит прямые углы при стороне $CD$). Но тогда $\angle A$ должен быть острым. Пусть $\angle A = 45^\circ$. Тогда высота $h = CD = AD - BC$ (из прямоугольного треугольника). Если $BC = 4\sqrt{2}$ и $AC$ — биссектриса, то $\triangle ABC$ равнобедренный (если $\angle BCA = \angle CAD = \angle BAC$, тогда $BC = AB = 4\sqrt{2}$). Высота трапеции $CD = AB \cdot \sin 45^\circ = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$. Тогда $AD = BC + AB \cdot \cos 45^\circ = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} + 4$. Диагональ $BD$ находим из прямоугольного треугольника $BCD$ (где $CD=4, BC=4\sqrt{2}$): $BD^2 = BC^2 + CD^2 = (4\sqrt{2})^2 + 4^2 = 32 + 16 = 48$. $BD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. Ответ: 4√3.