1. Упростите выражение: (m+5)/(m-5) - m/(m+5) * (m+5)/(3m+5)

### 1. Упрощение выражения Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $\left(\frac{m+5}{m-5} - \frac{m}{m+5}\right) \cdot \frac{m+5}{3m+5} = \left(\frac{(m+5)^2 - m(m-5)}{(m-5)(m+5)}\right) \cdot \frac{m+5}{3m+5}$ Раскроем скобки в числителе: $\frac{m^2 + 10m + 25 - m^2 + 5m}{(m-5)(m+5)} \cdot \frac{m+5}{3m+5} = \frac{15m + 25}{(m-5)(m+5)} \cdot \frac{m+5}{3m+5}$ Вынесем 5 за скобки: $\frac{5(3m + 5)}{(m-5)(m+5)} \cdot \frac{m+5}{3m+5} = \frac{5}{m-5}$ **Ответ:** $\frac{5}{m-5}$ ### 2. Решение системы уравнений $ \begin{cases} x + 2y = 11 \Rightarrow x = 11 - 2y \\ xy = 14 \end{cases} $ Подставим $x$ во второе уравнение: $(11 - 2y)y = 14 \Rightarrow 11y - 2y^2 = 14 \Rightarrow 2y^2 - 11y + 14 = 0$ Дискриминант: $D = 121 - 4 \cdot 2 \cdot 14 = 121 - 112 = 9$ $y_{1} = \frac{11 + 3}{4} = 3.5, \quad y_{2} = \frac{11 - 3}{4} = 2$ Находим $x$: Если $y = 3.5, x = 11 - 2(3.5) = 4$ Если $y = 2, x = 11 - 2(2) = 7$ **Ответ:** $(4; 3.5), (7; 2)$ ### 3. Решение неравенства $5x - 3(x - 1.5) < 4x + 1.5$ $5x - 3x + 4.5 < 4x + 1.5$ $2x - 4x < 1.5 - 4.5$ $-2x < -3$ $x > 1.5$ **Ответ:** $x \in (1.5; +\infty)$ ### 4. Представление в виде степени $a^{\frac{5}{6}} \sqrt[3]{a} = a^{\frac{5}{6}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6} + \frac{2}{6}} = a^{\frac{7}{6}}$ **Ответ:** $a^{\frac{7}{6}}$ ### 5. График функции $y = x^2 - 2x$ Это парабола, ветви вверх. Корни: $x(x-2) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=2$. Вершина: $x = -b/2a = 2/2 = 1$, $y = 1-2 = -1$. Отрицательные значения при $x \in (0; 2)$. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ:** $x \in (0; 2)$ ### 6. Нахождение $\sin 2\alpha$ $\sin \alpha = -0.6$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (III четверть, значит $\cos \alpha < 0$). $\cos^2 \alpha = 1 - (-0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 \Rightarrow \cos \alpha = -0.8$ $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot (-0.6) \cdot (-0.8) = 0.96$ **Ответ:** $0.96$ ### 7. Задача на работу Пусть $x$ — плановое кол-во деталей в день. Всего 210 деталей. Время по плану: $210/x$. Фактически: $(x+10)$ деталей в день. За 1 день до срока сделано $210+30=240$ деталей. Время по факту: $\frac{240}{x+10}$. $ \frac{210}{x} - \frac{240}{x+10} = 1 $ $210(x+10) - 240x = x(x+10)$ $210x + 2100 - 240x = x^2 + 10x$ $x^2 + 40x - 2100 = 0$ Корни: $x = 30$ (второй корень $-70$ не подходит). **Ответ:** 30 деталей в день.