Контрольная работа №4 по теме «Координаты и векторы в пространстве»

Давай разберем твою контрольную работу по векторам. Вот решения для каждого задания: **1. Найти координаты вектора $2\vec{a} + 3\vec{b}$** Дано: $\vec{a} = \{3; -1; 0\}$, $\vec{b} = \{-7; 0; 3\}$. Координаты вектора $2\vec{a} = 2 \cdot \{3; -1; 0\} = \{6; -2; 0\}$. Координаты вектора $3\vec{b} = 3 \cdot \{-7; 0; 3\} = \{-21; 0; 9\}$. Складываем координаты: $2\vec{a} + 3\vec{b} = \{6 - 21; -2 + 0; 0 + 9\} = \{-15; -2; 9\}$. **2. Найти координаты точки C — середины отрезка AB** Дано: $A(8; -6; 3)$, $B(-2; 2; -5)$. Формула координат середины: $x_c = \frac{8 + (-2)}{2} = \frac{6}{2} = 3$; $y_c = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$; $z_c = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. **Ответ:** $C(3; -2; -1)$. **3. Найти длину вектора $\vec{AB}$** Дано: $A(3; 1; 1)$, $B(5; 6; -6)$. Сначала найдем вектор $\vec{AB} = \{5-3; 6-1; -6-1\} = \{2; 5; -7\}$. Длина $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 25 + 49} = \sqrt{78}$. **4. Найти косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$** Дано: $\vec{a} = \{3; -2; -1\}$, $\vec{b} = \{1; 2; 4\}$. Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\cdot1 + (-2)\cdot2 + (-1)\cdot4 = 3 - 4 - 4 = -5$. Длина $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$. Длина $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$. $\cos\alpha = \frac{-5}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{-5}{\sqrt{294}} = \frac{-5}{7\sqrt{6}} \approx -0,291$. **5. Найти угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$** Дано: $\vec{a} = \{-2; 4\}$, $\vec{b} = \{6; 3\}$. (Это векторы на плоскости). Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)\cdot6 + 4\cdot3 = -12 + 12 = 0$. Так как скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны. **Ответ:** угол равен $90^\circ$.