5) Треугольник ABC – равнобедренный (AB=BC), BD – медиана, угол А равен 30°, АВ=8м, АС=10м. Найдите периметр треугольника BDC.

### Решение задачи 5 Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный ($AB=BC$), $BD$ — медиана, $\angle A = 30^\circ$, $AB = 8$ м, $AC = 10$ м. Найти: $P_{\triangle BDC}$. 1. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. Значит, $\triangle BDC$ — прямоугольный ($\angle BDC = 90^\circ$). 2. Так как $BD$ — медиана, то $DC = AC / 2 = 10 / 2 = 5$ м. 3. В $\triangle BDC$ сторона $BC = AB = 8$ м (по условию равнобедренности). 4. Найдем $BD$ по теореме Пифагора: $BD = \sqrt{BC^2 - DC^2} = \sqrt{8^2 - 5^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39}$ м. 5. Периметр $P_{\triangle BDC} = BD + DC + BC = \sqrt{39} + 5 + 8 = 13 + \sqrt{39} \approx 13 + 6,24 = 19,24$ м. В предложенных вариантах ответа верного нет (ни один из них не равен $13 + \sqrt{39}$). Возможно, в условии ошибка. ### Решение задачи 6 Дано: Точка $K$ — середина отрезков $AB$ и $CD$. 1. Рассмотрим $\triangle AKC$ и $\triangle BKD$: - $AK = KB$ (так как $K$ — середина $AB$), - $CK = KD$ (так как $K$ — середина $CD$), - $\angle AKC = \angle BKD$ (вертикальные углы). 2. Значит, $\triangle AKC = \triangle BKD$ по первому признаку (две стороны и угол между ними). 3. Из равенства треугольников следует, что $\angle KAC = \angle KBD$ (накрест лежащие углы при прямых $AC$, $DB$ и секущей $AB$). 4. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $AC \parallel DB$. Что и требовалось доказать. ### Решение задачи 7 Дано: $PT \parallel AD$, $PK$ — биссектриса $\angle CPT$, $\angle A = 40^\circ$, $\angle ADT = 80^\circ$ (судя по рисунку, угол $D$ в треугольнике $ADT$ равен $80^\circ$ или это внешний угол, но судя по записи $80$ у вершины $D$ — это $\angle ADT = 80^\circ$ или $\angle D = 80^\circ$). 1. Так как $PT \parallel AD$, то $\angle CPT = \angle A = 40^\circ$ (соответственные углы). 2. $PK$ — биссектриса $\angle CPT$, значит $\angle KPT = \frac{1}{2} \angle CPT = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ$. 3. $\angle P K C$ — это внешний угол для $\triangle APK$? Нет, $K$ лежит на $DC$. Нужно найти $\angle PKT$. 4. В $\triangle PKC$ углы $\angle C$ неизвестны. Вероятно, задача подразумевает нахождение угла в треугольнике $PKT$ или связь с углом $C$. Если считать, что $\angle KPT = 20^\circ$, нам не хватает данных о других углах для точного ответа без дополнительных условий.