Задание 3. Используя метод исключения переменных и геометрические построения, найти решение задачи линейного программирования:

Для варианта 9 параметры: $a = 11, b = 1, c = 4$. Целевая функция: $f = 11x_2 - 3x_3 \to \max$ Ограничения: 1) $2x_1 + x_2 + x_3 \le 15$ 2) $2x_1 + 5x_2 - 2x_3 \le 0$ 3) $4x_1 + 2x_2 - x_3 = -3$ 4) $x_2 \ge 0, x_3 \ge 0$ Шаг 1: Исключение переменной $x_1$. Из уравнения (3) выразим $x_1$: $4x_1 = -3 - 2x_2 + x_3$ $x_1 = -0.75 - 0.5x_2 + 0.25x_3$ Подставим это выражение в неравенства: 1) $2(-0.75 - 0.5x_2 + 0.25x_3) + x_2 + x_3 \le 15$ $-1.5 - x_2 + 0.5x_3 + x_2 + x_3 \le 15$ $1.5x_3 \le 16.5$ $x_3 \le 11$ 2) $2(-0.75 - 0.5x_2 + 0.25x_3) + 5x_2 - 2x_3 \le 0$ $-1.5 - x_2 + 0.5x_3 + 5x_2 - 2x_3 \le 0$ $4x_2 - 1.5x_3 \le 1.5$ $x_2 \le 0.375 + 0.375x_3$ Также учтем $x_1 \ge 0$ (т.к. обычно в ЛП переменные неотрицательны, хотя в условии не указано явно, но это стандарт), однако в задаче указаны только $x_2 \ge 0, x_3 \ge 0$. Если $x_1$ может быть любым, то ограничений нет, кроме тех, что следуют из системы. Шаг 2: Геометрическая интерпретация. У нас область допустимых решений в плоскости $(x_2, x_3)$ ограничена прямыми: 1) $x_3 = 11$ 2) $x_2 = 0.375 + 0.375x_3$ 3) $x_2 \ge 0, x_3 \ge 0$ Нам нужно максимизировать $f = 11x_2 - 3x_3$. Вершины области: - $x_2 = 0, x_3 = 0$ (проверка: $0 \le 11$, $0 \le 0.375$ - подходит) - $x_2 = 0.375, x_3 = 0$ - Точка пересечения $x_3=11$ и $x_2 = 0.375 + 0.375(11) = 0.375 + 4.125 = 4.5$ Значения функции $f$: - В $(0, 0): f = 0$ - В $(0.375, 0): f = 11(0.375) - 0 = 4.125$ - В $(4.5, 11): f = 11(4.5) - 3(11) = 49.5 - 33 = 16.5$ Максимум достигается в точке $(4.5, 11)$. Ответ: Максимум функции равен 16.5, при $x_2 = 4.5, x_3 = 11$ (и $x_1 = -0.75 - 0.5(4.5) + 0.25(11) = -0.75 - 2.25 + 2.75 = -0.25$).