61. Вычислите значение выражения при заданных условиях:

Решение задания 61: а) Пусть $u = \frac{x+y}{x-y}$ и $v = \frac{x-y}{x+y}$. Заметим, что $v = \frac{1}{u}$. По условию $u + v = 5$. Выразим искомое через $u$ и $v$: $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \frac{1}{2} \cdot (u + v) + \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (u+v)} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2.5} = 2.5 + 0.4 = 2.9$. б) Преобразуем выражение: $\frac{3a+2b}{5(a-b)} + \frac{2a-3b}{5(a+b)} = \frac{1}{5} \left( \frac{(3a+2b)(a+b) + (2a-3b)(a-b)}{a^2-b^2} \right)$. Раскроем скобки в числителе: $(3a^2 + 3ab + 2ab + 2b^2) + (2a^2 - 2ab - 3ab + 3b^2) = 5a^2 + 5b^2$. Итоговое выражение: $\frac{1}{5} \cdot \frac{5(a^2+b^2)}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$. По условию $\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{2}{11}$, значит $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{11}{2} = 5.5$. **Ответ: а) 2.9; б) 5.5.**