Итоговая контрольная работа

### Вариант 1 **1. Найдите значение выражения $\frac{1}{4}x^3 + 3y^2$ при $x=-2$ и $y=-1$.** $\frac{1}{4}(-2)^3 + 3(-1)^2 = \frac{1}{4}(-8) + 3(1) = -2 + 3 = 1$. **Ответ: 1.** **2. Решите систему уравнений $\begin{cases} x + 2y = 11 \\ 5x - 3y = 3 \end{cases}$** Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 11 - 2y$. Подставим во второе: $5(11 - 2y) - 3y = 3 \Rightarrow 55 - 10y - 3y = 3 \Rightarrow -13y = -52 \Rightarrow y = 4$. Тогда $x = 11 - 2(4) = 11 - 8 = 3$. **Ответ: (3; 4).** **3. Разложите на множители:** а) $3x^2 - 30x + 75 = 3(x^2 - 10x + 25) = 3(x - 5)^2$. б) $3a^2 - 3b^2 - a + b = 3(a^2 - b^2) - (a - b) = 3(a - b)(a + b) - (a - b) = (a - b)(3(a + b) - 1) = (a - b)(3a + 3b - 1)$. **4. Задача** Пусть $v$ — намеченная скорость (км/ч), тогда путь $S = 2,5v$. Реальная скорость $v+1$, время 2 ч. $S = 2(v+1)$. $2,5v = 2(v+1) \Rightarrow 2,5v = 2v + 2 \Rightarrow 0,5v = 2 \Rightarrow v = 4$ км/ч. Путь $S = 2,5 \cdot 4 = 10$ км. **Ответ: 10 км.** **5. Решите уравнение:** а) $\frac{4x+8}{3} - \frac{2x-3}{4} = 1$ | $\cdot 12$ $4(4x+8) - 3(2x-3) = 12 \Rightarrow 16x + 32 - 6x + 9 = 12 \Rightarrow 10x + 41 = 12 \Rightarrow 10x = -29 \Rightarrow x = -2,9$. б) $5x - 6x^2 = 0 \Rightarrow x(5 - 6x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = \frac{5}{6}$. **6. Решите графически $x^2 = 3 - 2x$** Перенесем: $x^2 + 2x - 3 = 0$. Строим $y = x^2$ и $y = -2x + 3$. Точки пересечения при $x=1$ и $x=-3$. ### Вариант 2 **1. Найдите значение выражения $\frac{1}{3}a^2 + 3b^3$ при $a=-3$ и $b=-2$.** $\frac{1}{3}(-3)^2 + 3(-2)^3 = \frac{1}{3}(9) + 3(-8) = 3 - 24 = -21$. **Ответ: -21.** **2. Решите систему уравнений $\begin{cases} y - 3x = -5 \\ 2y + 5x = 23 \end{cases}$** Из первого: $y = 3x - 5$. Подставим во второе: $2(3x - 5) + 5x = 23 \Rightarrow 6x - 10 + 5x = 23 \Rightarrow 11x = 33 \Rightarrow x = 3$. Тогда $y = 3(3) - 5 = 4$. **Ответ: (3; 4).** **3. Разложите на множители:** а) $5a^2 + 20a + 20 = 5(a^2 + 4a + 4) = 5(a + 2)^2$. б) $x - y - 2x^2 + 2y^2 = (x - y) - 2(x^2 - y^2) = (x - y) - 2(x - y)(x + y) = (x - y)(1 - 2(x + y)) = (x - y)(1 - 2x - 2y)$. **4. Задача** Намеченная скорость $v$, путь $S = 2v$. Реальная скорость $v+3$, время $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ ч. $S = \frac{5}{3}(v+3)$. $2v = \frac{5}{3}v + 5 \Rightarrow 6v = 5v + 15 \Rightarrow v = 15$ км/ч. Путь $S = 2 \cdot 15 = 30$ км. **Ответ: 30 км.** **5. Решите уравнение:** а) $\frac{5x-78}{5} - \frac{4x+6}{3} = 1$ | $\cdot 15$ $3(5x-78) - 5(4x+6) = 15 \Rightarrow 15x - 234 - 20x - 30 = 15 \Rightarrow -5x - 264 = 15 \Rightarrow -5x = 279 \Rightarrow x = -55,8$. б) $3x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(3x+4) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = -\frac{4}{3}$. **6. Решите графически $x^2 = 2x + 3$** Перенесем: $x^2 - 2x - 3 = 0$. Строим $y = x^2$ и $y = 2x + 3$. Точки пересечения при $x=-1$ и $x=3$.