15. В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 76. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

15. Треугольник CNM подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$, так как N и M — середины сторон. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $S_{CNM} / S_{ABC} = k^2 = (1/2)^2 = 1/4$. Тогда $S_{ABC} = 4 \times S_{CNM} = 4 \times 76 = 304$. Площадь четырехугольника ABMN равна $S_{ABC} - S_{CNM} = 304 - 76 = 228$. Ответ: 228. 16. Угол ACB — вписанный, он опирается на дугу AB. Градусная мера дуги AB равна $2 \times \angle ACB = 2 \times 25^\circ = 50^\circ$. Центральный угол $\angle BOC$ опирается на дугу BC. Так как AC — диаметр, то дуга ABC равна $180^\circ$, значит, дуга BC = $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Центральный угол $\angle BOC$ равен $130^\circ$. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ вертикальные, следовательно, $\angle AOD = 130^\circ$. Ответ: 130. 17. В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) угол $A$ складывается из углов $\angle CAD$ и $\angle BAC$. По условию, $\angle CAD = 1^\circ$, $\angle BAC = 46^\circ$. Значит, угол $\angle A = 1^\circ + 46^\circ = 47^\circ$. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, значит $\angle D = 47^\circ$. Сумма углов при одной боковой стороне равна $180^\circ$, поэтому углы $\angle B$ и $\angle C$ равны $180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$. Больший угол равен $133^\circ$. Ответ: 133. 18. Введем координаты: пусть начало координат (0,0) — нижняя левая точка сетки. Точки имеют координаты: $C(0;4)$, $B(2;1)$, $A(3;3)$. Найдем середину $M$ отрезка $BC$: $x_M = (0+2)/2 = 1$, $y_M = (4+1)/2 = 2.5$. Точка $M(1;2.5)$. Найдем расстояние от $A(3;3)$ до $M(1;2.5)$: $AM = \sqrt{(3-1)^2 + (3-2.5)^2} = \sqrt{2^2 + 0.5^2} = \sqrt{4 + 0.25} = \sqrt{4.25} \approx 2.06$. Ответ: $\sqrt{4.25}$ (или $\approx 2.06$). 19. Анализ утверждений: 1) Неверно. Диагонали параллелограмма равны только в прямоугольнике. 2) Верно. Площадь ромба равна $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота. 3) Неверно. Это условие (две стороны и угол) недостаточно для равенства, если угол не заключен между сторонами. Ответ: Верно только утверждение 2.