Вариант 1. 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу данного треугольника.

1. По теореме Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$, где $a=5$, $b=12$. Тогда $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см. 2. По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. Нам даны $c=25$ дм, $b=15$ дм. Тогда $a^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$. $a = \sqrt{400} = 20$ дм. 3. Основное тригонометическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $\sin^2 \alpha = 1 - (\frac{5}{9})^2 = 1 - \frac{25}{81} = \frac{56}{81}$. $\sin \alpha = \frac{\sqrt{56}}{9} = \frac{2\sqrt{14}}{9}$ (считаем угол острым). $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2\sqrt{14}/9}{5/9} = \frac{2\sqrt{14}}{5}$. 4. $\text{tg } A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}$. $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$. 5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Здесь $MC$ — медиана к гипотенузе $AB$ (если $MC$ — медиана, то $M$ должна лежать на $AB$, но на рисунке это не так, однако, если следовать стандартной задаче на свойство медианы к гипотенузе, возможно опечатка в условии). Если же это прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, и $MC$ — отрезок, то по теореме Пифагора в $\triangle AMC$ (где $M$ на $AB$): $AM^2 = AC^2 + MC^2$. Но данных для нахождения $BC$ недостаточно без понимания, где точка $M$. *Допущение:* Если $M$ — середина $AB$ (стандартная задача), то $AB = 2 \cdot MC = 20$. Тогда $BC^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$. $BC = 12$. 6. $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{13}{20} = 0,65$. 7. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a=6$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.