1035 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) y = √x, x = 1, x = 4, y = 0; 2) y = cos x, x = 0, x = π/3, y = 0; 3) y = x^2, y = 2 - x; 4) y = 2x^2, y = 0,5x + 1,5.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции: $S = \int_a^b f(x) dx$. 1) $y = \sqrt{x}, x = 1, x = 4, y = 0$ $S = \int_1^4 \sqrt{x} dx = \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_1^4 = \frac{2}{3}(4^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$. 2) $y = \cos x, x = 0, x = \frac{\pi}{3}, y = 0$ $S = \int_0^{\pi/3} \cos x dx = \left. \sin x \right|_0^{\pi/3} = \sin \frac{\pi}{3} - \sin 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 3) $y = x^2, y = 2 - x$ Найдем точки пересечения: $x^2 = 2 - x \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$. Корни: $x_1 = -2, x_2 = 1$. $S = \int_{-2}^1 (2 - x - x^2) dx = \left. (2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}) \right|_{-2}^1 = (2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (-4 - 2 + \frac{8}{3}) = \frac{6}{6} - \frac{3}{6} - \frac{2}{6} + 6 - \frac{8}{3} = \frac{7}{6} + 6 - \frac{16}{6} = 6 - \frac{9}{6} = 6 - 1,5 = 4,5$. 4) $y = 2x^2, y = 0,5x + 1,5$ Найдем точки пересечения: $2x^2 = 0,5x + 1,5 \Rightarrow 4x^2 - x - 3 = 0$. Дискриминант $D = 1 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 49$. Корни: $x = \frac{1 \pm 7}{8}$, т.е. $x_1 = 1, x_2 = -0,75$. $S = \int_{-0,75}^1 (0,5x + 1,5 - 2x^2) dx = \left. (0,25x^2 + 1,5x - \frac{2}{3}x^3) \right|_{-0,75}^1 = (0,25 + 1,5 - 0,666) - (0,25 \cdot 0,5625 - 1,125 + \frac{2}{3} \cdot 0,421875) \approx 1,083 - (-0,656) \approx 1,739...$ Точное значение: $\frac{343}{192} \approx 1,786$. Ответы: 1) $4\frac{2}{3}$; 2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$; 3) $4,5$; 4) $\frac{343}{192}$.