1. 1) sin x = -sqrt(2)/2; 2) cos x = sqrt(3)/2; 3) tg x = -sqrt(3)/3; 4) ctg x = 2.05

Привет! Давай разберем уравнения из твоего задания. Везде $k \in \mathbb{Z}$. **1.** 1) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$ 2) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ 3) $\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$ 4) $\cot x = 2.05$ $x = \operatorname{arccot}(2.05) + \pi k$ **2.** 1) $\sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm 1$ $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ 2) $\cos^2 x = \frac{1}{2} \implies \cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ $x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k$ **3.** 1) $\cos^2 x - \cos x - 2 = 0$. Пусть $t = \cos x, |t| \le 1$. $t^2 - t - 2 = 0$. Корни: $t_1 = 2$ (не подходит), $t_2 = -1$. $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$ 2) $8\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x - 4 = 0$. Используем $4 = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$: $4\sin^2 x + \sin x \cos x = 0 \implies \sin x(4\sin x + \cos x) = 0$ $ \begin{aligned} &1) \sin x = 0 \implies x = \pi k \\ &2) 4\sin x + \cos x = 0 \implies \tan x = -0.25 \implies x = \arctan(-0.25) + \pi k \end{aligned} $ **4.** 1) $2\cos^2(x - \pi) + 3\sin(\pi + x) = 0$. Упрощаем: $\cos^2(x - \pi) = \cos^2 x$, $\sin(\pi + x) = -\sin x$. $2\cos^2 x - 3\sin x = 0 \implies 2(1 - \sin^2 x) - 3\sin x = 0$ $2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$. Решая квадратное уравнение относительно $\sin x$, получаем $\sin x = 0.5$ (второй корень $-2$ не подходит). $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$ 2) $2\sin^2 x + 5\sin(\frac{3\pi}{2} - x) - 2 = 0$. Упрощаем: $\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x$. $2(1 - \cos^2 x) - 5\cos x - 2 = 0 \implies -2\cos^2 x - 5\cos x = 0$ $\cos x(2\cos x + 5) = 0 \implies \cos x = 0$ (второй корень $\cos x = -2.5$ невозможен). $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$