В окружности с центром O проведена хорда AB. OC - радиус перпендикулярен к хорде. Доказать: AC=CB.

Question

Вопрос:

В окружности с центром O проведена хорда AB. OC - радиус перпендикулярен к хорде. Доказать: AC=CB.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Дано: Окружность с центром $O$. Хорда $AB$. Радиус $OC \perp AB$. Пусть $M$ — точка пересечения $OC$ и $AB$. Доказать: $AC = CB$. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$. 2. $OA = OB$ как радиусы одной и той же окружности. 3. $OC$ — общая сторона для обоих треугольников. 4. По условию $OC \perp AB$, значит, $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$. Поскольку $OC$ проходит через центр и перпендикулярна хорде, она делит хорду пополам (свойство диаметра/радиуса, перпендикулярного хорде), то есть $AM = MB$. 5. $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$ равны по двум катетам ($AM=MB$, $OM$ - общая) или по катету и гипотенузе ($OA=OB$, $OC$ - общая). 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AC = CB$. Ч.Т.Д.

В окружности с центром O проведена хорда AB. OC - радиус перпендикулярен к хорде. Доказать: AC=CB.

Ответ ассистента

Другие решения