На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠АОВ = 30°. Длина меньшей дуги АВ равна 12. Найдите длину большей дуги

### Задача 14 Полная окружность составляет $360^\circ$. Длина всей окружности относится к длине дуги как $360^\circ : 30^\circ = 12$. Длина окружности: $12 \times 12 = 144$. Длина большей дуги: $144 - 12 = 132$. **Ответ: 132** ### Задача 15 Центр окружности лежит на стороне AB, значит AB — диаметр. Треугольник ABC вписан в полуокружность, следовательно, $\angle C = 90^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Тогда $\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ$. **Ответ: 63** ### Задача 16 Так как центр лежит на стороне AB, AB — диаметр. Радиус $R = 2,5$, значит, диаметр $AB = 2 \times 2,5 = 5$. В треугольнике ABC угол C прямой (опирается на диаметр). По теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. $AC^2 + 3^2 = 5^2$ $AC^2 + 9 = 25$ $AC^2 = 16$, откуда $AC = 4$. **Ответ: 4** ### Задача 17 Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным AC и BC. В четырехугольнике ACBO углы $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 73^\circ = 107^\circ$. **Ответ: 107** ### Задача 18 Пусть точка пересечения касательных — M. Четырехугольник OAMB имеет прямые углы при вершинах A и B. $\angle AMB = 54^\circ$. Тогда $\angle AOB = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$. Радиусы OA=OB, значит треугольник AOB равнобедренный. $\angle OBA = \angle OAB = (180^\circ - 126^\circ) / 2 = 54^\circ / 2 = 27^\circ$. **Ответ: 27** ### Задача 19 По свойству пересекающихся хорд произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $AP \times CP = BP \times DP$. $AP \times 24 = 8 \times 18$ $AP \times 24 = 144$ $AP = 144 / 24 = 6$. **Ответ: 6** ### Задача 20 Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. Подставим $a = 18\sqrt{3}$: $r = \frac{18\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{6} = \frac{18 \times 3}{6} = 18 \times 0,5 = 9$. **Ответ: 9**