6. Катер прошел по течению 40 км и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?

### 1. Упростите выражение: а) $\frac{5a+10}{b-7} : \frac{a^2+4a+4}{2b-14} = \frac{5(a+2)}{b-7} \cdot \frac{2(b-7)}{(a+2)^2} = \frac{5 \cdot 2}{a+2} = \frac{10}{a+2}$ б) $\frac{\sqrt{50} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{300}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{300}{12}} = \sqrt{25} = 5$ ### 2. Найдите значение выражения: а) $\frac{(\sqrt{2})^6}{32} = \frac{2^3}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0,25$ б) $(5,2 \cdot 10^{-7}) \cdot (3,5 \cdot 10^{4}) = (5,2 \cdot 3,5) \cdot 10^{-7+4} = 18,2 \cdot 10^{-3} = 0,0182$ в) $\frac{3^{-6} \cdot 9^{-2}}{3^{-12}} = \frac{3^{-6} \cdot (3^2)^{-2}}{3^{-12}} = \frac{3^{-6} \cdot 3^{-4}}{3^{-12}} = \frac{3^{-10}}{3^{-12}} = 3^{-10 - (-12)} = 3^2 = 9$ ### 3. Решите уравнение: а) $x^2 + 2x = 16x - 49 \Rightarrow x^2 - 14x + 49 = 0 \Rightarrow (x-7)^2 = 0 \Rightarrow x = 7$ б) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0 \Rightarrow x^2(x-3) - 4(x-3) = 0 \Rightarrow (x^2-4)(x-3) = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2)(x-3) = 0$. Корни: $x_1=2, x_2=-2, x_3=3$ ### 4. Решите систему неравенств: $\begin{cases} 6x + 1 \geq 1 + 4x \\ 5x < 10x + 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \geq 0 \\ -5x < 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ x > -0,8 \end{cases} \Rightarrow x \geq 0$ Ответ: $[0; +\infty)$ ### 5. Постройте график функции $y = 2x - 1$: Это прямая. Для построения достаточно двух точек: $x=0, y=-1$ (точка $(0; -1)$) $x=1, y=1$ (точка $(1; 1)$) Так как коэффициент при $x$ (число 2) положителен, функция возрастает. ### 6. Катер прошел 40 км по течению и 6 км против течения за 3 часа: Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Скорость по течению: $x+2$, против: $x-2$. $\frac{40}{x+2} + \frac{6}{x-2} = 3 \Rightarrow 40(x-2) + 6(x+2) = 3(x^2-4)$ $40x - 80 + 6x + 12 = 3x^2 - 12 \Rightarrow 3x^2 - 46x + 56 = 0$ $D = (-46)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 2116 - 672 = 1444 = 38^2$ $x_1 = \frac{46+38}{6} = 14$; $x_2 = \frac{46-38}{6} = 1,33$ (не подходит, скорость катера должна быть больше скорости течения 2 км/ч). Ответ: 14 км/ч.