MN = 36, MP, PN - ?; AC = BC, ∠CBE - ?

### Задача 3 Дано: $\triangle MKN$ — прямоугольный, $\angle K = 90^\circ$, $\angle M = 30^\circ$, $KP$ — высота, $MN = 36$. 1. Рассмотрим $\triangle MKN$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle N = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 2. Рассмотрим $\triangle MKP$ (прямоугольный, так как $KP \perp MN$). $\angle M = 30^\circ$, значит, катет $KP$ лежит напротив угла $30^\circ$ и равен половине гипотенузы $MK$. Но нам нужен $MP$. В $\triangle MKP$: $\angle MKP = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Это не самый быстрый путь. 3. Воспользуемся свойством: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В $\triangle MKN$ катет $NK$ лежит против угла $30^\circ$ (угла $M$), значит, $NK = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$. 4. Теперь рассмотрим $\triangle NKP$ (прямоугольный). В нем $\angle N = 60^\circ$, значит, $\angle KPN$ (точнее, $\angle NKP$ внутри этого треугольника) = $180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 5. Катет $PN$ лежит против угла $30^\circ$ в $\triangle NKP$, поэтому $PN = \frac{1}{2} NK = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$. 6. Тогда $MP = MN - PN = 36 - 9 = 27$. **Ответ: $MP = 27$, $PN = 9$.** ### Задача 7 Дано: $\triangle ABC$, $AC = BC$ (равнобедренный), $BD \perp AC$, $\angle ABD = 20^\circ$. 1. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AB$ (по условию $AC = BC$ боковые стороны, значит, углы при основании $A$ и $B$ равны? Нет, подождите, $AC=BC$, значит, это равнобедренный треугольник с вершиной $C$, углы при основании $AB$ равны: $\angle CAB = \angle CBA$). 2. Рассмотрим $\triangle ABD$ (прямоугольный, так как $BD \perp AC$). Угол $A$ (или $\angle DAB$) можно найти: $\angle DAB = 90^\circ - \angle ABD = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$. 3. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AC=BC$), углы при основании $AB$ равны: $\angle CBA = \angle CAB = 70^\circ$. 4. Угол $\angle CBD = \angle CBA - \angle ABD = 70^\circ - 20^\circ = 50^\circ$. 5. Нам нужно найти $\angle CBE$. Угол $\angle ABE$ развернутый (он равен $180^\circ$), но по рисунку $E$ — точка на луче $AB$. Угол $\angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$ (смежные). 6. $\angle CBE = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. **Ответ: $\angle CBE = 110^\circ$.**